Inre produktrun och adjunkt

Adjungatan till en matris är (kanske wikipedia kan hjälpa till med definitionen).

Jag tror inte TS syfar på "adjungerade matris" i betydelsen som Moffen länkar till, utan snarare "adjungerad operator" i den här betydelsen.

För en linjär operator på den vanliga n-dimensionella vektorrummet $\mathbb{C}^{n\times n}$, utrustat med den vanliga standard-inre produkten 

   $\langle u,v\rangle=u_1\overline{v_1}+\cdots+u_n\overline{v_n}\,,$

visar det sig som du säkert redan vet att det är ovanligt enkelt att bestämma $T^*$. Du bara kollar vilken matris $A\in M_{n,n}(\mathbb{C})$ som $T$ motsvarar, räknar ut det konjugerade transponatet av den matrisen, $\overline{A}^t$, och låter sedan $T^*$ vara motsvarande linjära operator.

Problemet här är dels att din linjära operator inte är definierad på $\mathbb{C}^n$, utan på vektorrummet $M_{2,2}(\mathbb{C})$ (så själva vektorerna är matriser i sig, vilket är helt klart förvirrande första gången man stöter på det!), och dels att din inre produkt (vid första anblicken i alla fall) inte alls har något att göra med standard-indre produkten. 

Det finns som jag ser det två sätt du kan hantera detta på:

(1) Gå tillbaka till den formella definitionen av adjungerad operator, som fungerar för alla ändligt dimensionella inre produkt-rum, oavsett hur förvirrande de ser ut, och som i ditt fall säger att $T^*$ är den unika operator som uppfyller ekvationen

   $\langle T(A),B\rangle=\langle A,T^*(B)\rangle$

för alla $A,B\in M_{2,2}(\mathbb{C})$. Kan du utifrån det räkna ut vad $T^*$ gör för något? (Notera att det räcker med att räkna ut vad $T^*$ gör på basvektorerna i $M_{2,2}(\mathbb{C})$.)

(2) Övertyga dig om att $M_{2,2}(\mathbb{C})$, utrustad med den inre produkten $\langle A,B\rangle=\text{tr}(B^*A)$, i själva verket faktiskt är gamla vanliga hederliga $\mathbb{C}^4$, med den vanliga hederliga standard-inre produkten, i förklädnad! (Mer precist så kan man säga att dessa två inre produkt-rum är isometriskt isomorfa, om du har hört det uttrycket tidigare.) Om du lyckas med detta kan du översätta uppgiften från $M_{2,2}(\mathbb{C})$-världen till $\mathbb{C}^4$-världen, ta reda på hur den adjungerde operatorn fungerar där genom att räkna ut en konjugerade transponatet för motsvarande matris, och sedan översätta tillbaka till $M_{2,2}(\mathbb{C})$-världen.

Får någon av dessa infallsvinklar det att lossna för dig? Säg annars till, så hjälper jag eller någon annan dig gärna vidare!

Om $A$ är en matris av komplexa tal så brukar $A^*$ beteckna den transponerade matrisen $A^t$ vars element är komplex-konjugat av elementen i matrisen $A$. 

Albiki skrev:

Om $A$ är en matris av komplexa tal så brukar $A^*$ beteckna den transponerade matrisen $A^t$ vars element är komplex-konjugat av elementen i matrisen $A$. 

Här står det mer om det: https://en.m.wikipedia.org/wiki/Conjugate_transpose