Instängning av summa

Man kan ju jämföra summan med en integral.

Funktionen $f\left(x\right) = \dfrac{e^{- \sqrt{x}}}{\sqrt{x}}$ är avtagande för $x > 0$.

Den givna summan kan skrivas som $\sum_{k=1}^\infty f(k)$. Den är en undersumma till $\int_0^\infty f(x)\,dx$ och en översumma till $\int_1^\infty f(x)\,dx$, d.v.s. det gäller att

$\displaystyle \underbrace{\int_1^\infty \dfrac{e^{- \sqrt{x}}}{\sqrt{x}} \,dx}_{=2/e \approx 0.736} < \sum_{k=1}^\infty \dfrac{e^{- \sqrt{k}}}{\sqrt{k}} < \underbrace{\int_0^\infty \dfrac{e^{- \sqrt{x}}}{\sqrt{x}} \,dx}_{=2}$