14 svar
75 visningar
natureleven23 är nöjd med hjälpen
natureleven23 300
Postad: 11 feb 00:01

Integral

uppgiften är att bestämma det minsta värdet som själva integralen kan få när 0≤k≤2pi

Här är integralen 

Trinity2 971
Postad: 11 feb 00:12
natureleven23 skrev:

uppgiften är att bestämma det minsta värdet som själva integralen kan få när 0≤k≤2pi

Här är integralen 

Du behöver ej beräkna integralen. 

Sätt 

I(k)=integralen.

Du söker när I'(k)=0 på intervallet [0,2π] och glöm ej verifiera minimum med tkn-studium.

Tänk på att I'(k)=cos(k)-1/4.

natureleven23 300
Postad: 11 feb 13:32

Integralen som jag visade råkade skrivas fel, det ska vara cosx-1/2

Jag förstår att man ej behöver beräkna integralen eftersom då får man en primitiv funktion som man ska derivera, vilket till slut ger samma funktion som man hade i början, i detta fall cosx-1/2. 
hittar extrempunkt:

cosx-1/2=0

x=cos-1(1/2)=pi/3

hur kommer jag vidare?

Ture 9553 – Livehjälpare
Postad: 11 feb 14:16

Du måste bestämma samtliga lösningar till cosx-1/2=0 i intervallet 0 till 2pi.

Det är fel i formalia, det borde vara cos(k) -1/2 = 0, inte x

natureleven23 300
Postad: 11 feb 17:18

Hur ska jag bestämma samtliga lösningar? Dessutom så är pi/3 inte en lösning enligt facit 

Ture 9553 – Livehjälpare
Postad: 11 feb 18:01 Redigerad: 11 feb 18:02

om cos(x) = 1/2 är 

x = pi/3 eller x = -pi/3 (dvs 5pi/3)

Då har du fått fram derivatans nollställen, men du ska bestämma funktionens minsta värde

(Funktionen är den lösta integralen, derivatan är integranden)

natureleven23 300
Postad: 11 feb 18:07

Ska jag derivera cos(x) = 1/2

Ture 9553 – Livehjälpare
Postad: 11 feb 18:51 Redigerad: 11 feb 18:52

Nej,

Du ska lösa den här uppgiften på exakt samma sätt som du löser liknande uppgifter där man frågar efter max eller min.

Dvs

1  - Sök funktionens derivatas nollställen
2 - Avgör om något av derivatans nollställen ger ett lokalt max eller min i funktionen
3 - Bestäm funktionens värde för de x som som du bestämde enligt ovan.
4 - kontrollera om randen är ett max eller min

I det här fallet är funktionen din integral

Funktionens derivata är cos(k)-1/2 som har nollställena k = pi/3 och 5pi/6 i intervallet. Då är du klar med punkt 1.

För att kunna komma vidare med med punkt 2 måste du beräkna integralen.

natureleven23 300
Postad: 11 feb 22:11

Jag får att integralen är =-pi

vad gör jag med detta värde?

Ture 9553 – Livehjälpare
Postad: 12 feb 08:06

Visa hur du räknat

natureleven23 300
Postad: 12 feb 13:48 Redigerad: 12 feb 13:49

Ture 9553 – Livehjälpare
Postad: 12 feb 16:30 Redigerad: 12 feb 16:30

Har du koll på vad vi gör här?

Vi har en Integral där en av gränserna (kallas k i uppgiften) är okänd.

Vi ska bestämma för vilket värde på k som integralen får sitt minsta värde för 0 <= k <= 2pi

För det deriverar du integralen och söker derivatans nollställen, vilket du har fått till pi/3 och 5pi/3.

Sen har du deriverat en gång till och konstaterar att andraderivatan > 0 för k = 5pi/3 vilket talar för att  funktionen (dvs integralen) har ett lokalt minimum där.

Nu återstår att bestämma vilket värde funktionen har för 5pi/3 och dessutom kontrollera randpunkterna dvs 0 och 2pi för att sedan avgöra vilken av dessa tre som ger det minsta värde på funktionen

natureleven23 300
Postad: 12 feb 16:36

Okej låt oss ta det från början för att jag känner mig virrig.

Jag tänker att integralen cos(x)-1/2 med gränserna 0,t ger att sin(k)-k/2. f’(t)= cos (t)0 för att identifiera extrempunkter.   t=+-pi/3+n•2pi

var fås 5pi/3, ingår det ens i intervallet?

Vad gör jag därefter?

Trinity2 971
Postad: 12 feb 16:50

f(x) = cos(x) - 1/2

Integralen beräknas;

A(k) = sin(k)-k/2

Vi söker minimum på intervallet [0,2π]

A'(k) = cos(k)-1/2

A'(k)=0 ger k=π/3 och 5π/3

A''(k) = -sin(k) och A''(π/3)<0 och A''(5π/3)>0 varför k=5π/3 ger ett minimum som är A(5π/3)=-Sqrt3/2-5π/6

natureleven23 300
Postad: 12 feb 16:58

Tusen tack för hjälpen, hur vet du att ditt andra nollställe är 5pi/3, i mitt formelblad står bara pi/3

Svara Avbryt
Close