integral

På a) kan du använda att $\frac{1}{x(1 + x^2)}=\frac{1}{x}-\frac{x}{1 + x^2}$.

På b) så kan du utföra partialintegration med funktionerna x*sqrt(1 - x^2) och arcsin(x) eller så gör du variabelbytet $x =\hspace{0.17em}\sin \left(\theta \right)$.

okej, då satte jag ${{\left|\ln -\frac{1}{2}\ln \left(x^2+1\right)\right|}^2}_1$ och fick då $\ln \left(2\right)-\ln \left(5\right)-\ln$, svaret ska tillslut bli $\frac{13}{20}\ln 2-\frac{1}{4}\ln 5$

När du skriver ln, menar du då ln x?

Har du testat att derivera din primitiva funktion och sett att derivatan blir din ursprungsfunktion?

Det där uttrycket är inte ens giltigt, du kan inte bara skriva "ln" sådär. Det gäller att

${\overline{)\left(\ln \right(x) - \frac{1}{2}\ln (x^2+1\left)\right)}}_1^2=\ln \left(2\right) - \frac{1}{2}\ln \left(5\right) + \frac{1}{2}\ln \left(2\right) =\hspace{0.17em}\frac{3}{2}\ln \left(2\right)-\frac{1}{2}\ln \left(5\right)$

Men detta är ju inte hela integralen, det är ju enbart integralen ${\int }_1^2\frac{1}{x(x^2+1)}dx$. Du måste beräkna hela integralen.

okej, hela integralen ska väl bli ${{\left|\ln \left(x\right)-\frac{1}{2}\ln \left(x^2+1\right)\right|}^2}_1-{\int }_1^2\ln \left(x\right)-\frac{1}{2}\left(\frac{x^3}{3}+x\right)=\left(\frac{3}{2}\ln \left(2\right)-\frac{1}{2}\ln \left(5\right)\right)-\left(\ln \left(2\right)-\ln \left(\frac{5}{3}\right)\right)$

Jag förstår inte alls var du får det där ifrån. Du har alltså att

$$\begin{gathered} {\int }_1^2\frac{x\ln \left(x\right)}{(1 + x^2{)}^2}dx={\overline{)-\frac{\ln \left(x\right)}{2(x^2+1)}}}_1^2+\frac{1}{2}{\int }_1^2\frac{1}{x(1 + x^2)}dx= \\ {\overline{)-\frac{\ln \left(x\right)}{2(x^2+1)}}}_1^2+\frac{1}{2}\left(\frac{3}{2}\ln \left(2\right)-\frac{1}{2}\ln \left(5\right)\right) \end{gathered}$$

Så du behöver bara förenkla detta vidare.

okej, efter att jag förenklade fick jag fram rätt svar. Det jag inte är helt klar med är i början när vi fick fram $-\frac{\ln \left(x\right)}{2\left(x^2+1\right)}$ och $\frac{1}{2}\times \frac{1}{x\left(1+x^2\right)}$

jag är med på 1/2 då vi hade 2an i nämnaren, och ettan kommer från derivatan av x, men varför får vi minus framför ln(x) och positivt framför 1/2?

Minustecknet kommer från att $-\frac{1}{2(1 + x^2)}$ är en primitiv funktion till $\frac{x}{(1 + x^2{)}^2}$.

okej, jag är med på primitiverna och den första halvan av integralen dvs hur vi får ${{\left|-\frac{\ln \left(x\right)}{2\left(x^2+1\right)}\right|}^2}_1$ och jag är med på hur vi får fram $\frac{1}{2}{\int }_1^2\frac{1}{x\left(1+x^2\right)}dx$  men jag är inte med på hur vi kommer från $\frac{1}{2}{\int }_1^2\frac{1}{x\left(1+x^2\right)}\Rightarrow \frac{1}{2}\left(\frac{3}{2}\ln \left(2\right)-\frac{1}{2}\ln \left(5\right)\right)$ 

1/2 är ju bara kvar sedan innan men sen är jag inte helt med, sätter man in värdena 2 och 1 får vi ju 1/2(1/10 och 1/2)

Det gäller inte att

${\int }_1^2\frac{1}{x(1 + x^2)}dx =\hspace{0.17em}{\overline{)\frac{1}{x(1 + x^2)}}}_1^2$

Så du kan inte bara sätta in värdena sådär. Utan som vi tidigare kom fram till i tråden så gäller det att

${\int }_1^2\frac{1}{x(1 + x^2)}dx =\hspace{0.17em}{\overline{)\left(\ln \right(x)\hspace{0.17em}- \frac{1}{2}\ln (1 + x^2\left)\right)}}_1^2$