Integral- bestäm integrationsgräns (Matematik/Matte 4)

Det hjälper nog att skriva om VL genom att faktorisera parentesen och sedan använda lämplig logaritmlag.

Dr. G skrev:
Det hjälper nog att skriva om VL genom att faktorisera parentesen och sedan använda lämplig logaritmlag.

Hur ska man sen gå vidare? Jag får det till:

VL= $\int_{3}^{9} (\ln ((x + 3) (x - 3)) d x = \int_{3}^{9} (\ln (x + 3) + \ln (x - 3)) d x$

Precis!

Dela upp i två integraler och gör lämpliga variabelbyten.

hmmm, hur skulle variabelbytena gå till? Ska det kunna användas för att ta fram primitiv funk.?

Nej, du behöver inte ta fram någon primitiv funktion.

Båda integralerna kan du skriva på formen

$\int_a^b \ln t \ dt$

för olika värden på a och b.

Tillägg: 26 mar 2024 22:45

Ok, a var ett dåligt val av variabelnamn, då det redan används i frågan. Det är inte samma a som i HL.

Utgå ifrån att

∫ln(x)dx = x•ln(x) - x

Dr. G skrev:
Nej, du behöver inte ta fram någon primitiv funktion.

Båda integralerna kan du skriva på formen

$\int_a^b \ln t \ dt$

för olika värden på a och b.

Tillägg: 26 mar 2024 22:45

Ok, a var ett dåligt val av variabelnamn, då det redan används i frågan. Det är inte samma a som i HL.

Okej, då blir ju det:

Låt t=x-3

$\int_{3}^{9} \ln (t) d t + \int_{3}^{9} \ln (t + 6) d t = \int_{0}^{a} \ln (t + 3) d t$

Har svårt att se vad man ska göra sen tyvärr...

Jan Ragnar skrev:
Utgå ifrån att

∫ln(x)dx = x•ln(x) - x

Tror att man ska kunna lösa uppgiften utan att veta den primitiva funktionen. Känns ju som sista utvägen :)

dravde skrev:
Jan Ragnar skrev:
Utgå ifrån att

∫ln(x)dx = x•ln(x) - x

Tror att man ska kunna lösa uppgiften utan att veta den primitiva funktionen. Känns ju som sista utvägen :)

Helt rätt! Räkna ej ut dem utan bara gör linjär subst. och allt blir tydligt och klart.

Trinity2 skrev:
dravde skrev:
Jan Ragnar skrev:
Utgå ifrån att

∫ln(x)dx = x•ln(x) - x

Tror att man ska kunna lösa uppgiften utan att veta den primitiva funktionen. Känns ju som sista utvägen :)

Helt rätt! Räkna ej ut dem utan bara gör linjär subst. och allt blir tydligt och klart.

Hur tänker du att man ska substituera? Försökte göra det ovan, men ser inte hur det gör det enklare.

Och är inte integralen av ln(x) från 0 odef. om a är större än 0. ln(x) går ju mot negativ oändlighet för x=0. Blir ens uppgiften möjlig att lösa då?

Du kan göra olika substitutioner i de två integralerna.

Tänk på att gränserna kommer att skiftas i de nya variablerna.

Ta t = x - 3 i den ena och u = x + 3 i den andra. Vilka gränser får du då?

Bra observation vid x = 0! Det är dock möjligt att integrera från 0. (Varför kan vi ta när uppgiften är löst.)

dravde skrev:
Trinity2 skrev:
dravde skrev:
Jan Ragnar skrev:
Utgå ifrån att

∫ln(x)dx = x•ln(x) - x

Tror att man ska kunna lösa uppgiften utan att veta den primitiva funktionen. Känns ju som sista utvägen :)

Helt rätt! Räkna ej ut dem utan bara gör linjär subst. och allt blir tydligt och klart.

Hur tänker du att man ska substituera? Försökte göra det ovan, men ser inte hur det gör det enklare.

Och är inte integralen av ln(x) från 0 odef. om a är större än 0. ln(x) går ju mot negativ oändlighet för x=0. Blir ens uppgiften möjlig att lösa då?

Dr. G har en bra ledtråd.

När det gäller x=0 så är faktiskt integralen konvergent för x=0. Det ligger nog utanför gymnasiematten, men vi kan som Dr. G säger ta det när uppgiften är löst

Tack för de bra tipsen! Kommer dock inte vidare med hur man ska sub. Skulle uppskatta om någon kunde visa detta. Varför kommer inte integrationsgränserna att vara samma?

Vi kan ta den ena integralen:

$\int_3^9\ln (x - 3)dx$

Med t = x - 3, så är dt = dx.

Gränserna 3 och 9 i x motsvarar t = 3 - 3 = 0 och 9 - 3 = 6 i t. Alltså är

$\int_3^9\ln (x - 3) \ dx = \int_0^6\ln t \ dt$

Hur blir den andra integralen?

De kan sedan kombineras ihop på ett snyggt sätt.

Tack för svar. Då blir det väl kanske så här!

u=x+3

$\int_{3}^{9} \ln (x + 3) d x = \int_{6}^{12} \ln (u) d u \int_{0}^{6} \ln (t) d t + \int_{6}^{12} \ln (u) d u = \int_{0}^{12} \ln (z) d z \int_{0}^{12} \ln (z) d z = \int_{0}^{a} \ln (x) d x \Leftrightarrow a = 12$

Kan man skriva de två integralerna som en integral även om integrationsvariablerna (t resp. u) skiljer sig åt?

Precis så!

Integrationsvariabelns benämning är godtycklig, så du kan slå ihop dem till en integral, eftersom den övre gränsen för den ena är den undre gränsen för den andra (6).

Dr. G skrev:
Precis så!

Integrationsvariabelns benämning är godtycklig, så du kan slå ihop dem till en integral, eftersom den övre gränsen för den ena är den undre gränsen för den andra (6).

Jättebra, tack för hjälpen! Klurig uppgift men lärorik!

(Varför gick det att lösa integralen även om funktionen inte är def. för x=0. )