18 svar
61 visningar
Nichrome 1707
Postad: 18 mar 20:53

Integral cos²x-cos⁴x

Hur bestämmer man primitiv funktion till f(x) = cos²x-cos⁴x?  Jag kan hitta den primitiva funktionen för  cos³x med hjälp av derivatan för sin³x. Skulle det funka på samma sätt för cos²x? 

y =sin2xy' =2sinxcosx

kan (sin²x2sinx)2vara den primitiva funktionen till cos²x? 

Micimacko 3667
Postad: 18 mar 21:25 Redigerad: 18 mar 21:30

Variabelbyten brukar oftast inte fungera när det är upphöjt till något jämnt. Testa skriva om med eulers formler så ska det bli något lättintegrerat.

Vet inte när komplexa tal ligger nu, men om det kommer senare borde det isf stå i formelsamlingen hur du ska skriva om cos^2 till något utan kvadrat.

Nichrome 1707
Postad: 18 mar 21:33
Micimacko skrev:

Variabelbyten brukar oftast inte fungera när det är upphöjt till något jämnt. Testa skriva om med eulers formler så ska det bli något lättintegrerat.

Vet inte när komplexa tal ligger nu, men om det kommer senare borde det isf stå i formelsamlingen hur du ska skriva om cos^2 till något utan kvadrat.

vi har inte gått genom komplexa tal än, har inte riktigt koll på Eulers formel..

Micimacko 3667
Postad: 18 mar 21:37

Hittar du något i formelsamlingen då?

D4NIEL 728
Postad: 18 mar 21:38 Redigerad: 18 mar 21:39

Känner du till formlerna för dubbla vinkeln?

sin(2u)=2sin(u)cos(u)\sin(2u)=2\sin(u)\cos(u)

cos(2u)=cos2(u)-sin2(u)=2cos2(u)-1=1-2sin2(u)\cos(2u)=\cos^2(u)-\sin^2(u)=2\cos^2(u)-1=1-2\sin^2(u)

notera att

cos2(x)-cos4(x)=cos2(x)(1-cos2(x))=(cos(x)sin(x))2\cos^2 (x)-\cos^4(x)=\cos^2(x)(1-\cos^2(x))=(\cos(x)\sin(x))^2

Nichrome 1707
Postad: 18 mar 21:43 Redigerad: 18 mar 21:43
D4NIEL skrev:

Känner du till formlerna för dubbla vinkeln?

sin(2u)=2sin(u)cos(u)\sin(2u)=2\sin(u)\cos(u)

cos(2u)=cos2(u)-sin2(u)=2cos2(u)-1=1-2sin2(u)\cos(2u)=\cos^2(u)-\sin^2(u)=2\cos^2(u)-1=1-2\sin^2(u)

notera att

cos2(x)-cos4(x)=cos2(x)(1-cos2(x))=(cos(x)sin(x))2\cos^2 (x)-\cos^4(x)=\cos^2(x)(1-\cos^2(x))=(\cos(x)\sin(x))^2

ja, funktionen som var i uppgiften var just (sin²xcos²x) = (sinxcosx)² (som jag skrev om till cos²x-cos⁴x men jag vet inte hur man bestämmer den primitiva funktionen till den här 

D4NIEL 728
Postad: 18 mar 21:46

Använd formlerna för dubbla vinkeln  två gånger

första gången

(sin(x)cos(x))2=14sin2(2x)\displaystyle (\sin(x)\cos(x))^2=\frac14\sin^2(2x)

Sen kan vi lösa ut vad en sin2sin^2 är ur den andra formeln...

Nichrome 1707
Postad: 18 mar 21:54
D4NIEL skrev:

Använd formlerna för dubbla vinkeln  två gånger

första gången

(sin(x)cos(x))2=14sin2(2x)\displaystyle (\sin(x)\cos(x))^2=\frac14\sin^2(2x)

Sen kan vi lösa ut vad en sin2sin^2 är ur den andra formeln...

jag förstår inte riktigt hur du får 14sin²x(2x), när jag använder formeln för dubbla vinkeln får jag cos²x-cos⁴x

D4NIEL 728
Postad: 18 mar 21:57 Redigerad: 18 mar 21:57

jag använder formeln sin(2u)=2sin(u)cos(u)\sin(2u)=2\sin(u)\cos(u)

sin(x)cos(x)=12·2sin(x)cos(x)=12·sin(2x)\sin(x)\cos(x)=\frac 12 \cdot 2\sin(x)\cos(x)=\frac 12\cdot \sin(2x)

Sen ska det ju vara i kvadrat också, är du med?

Nichrome 1707
Postad: 18 mar 22:01
D4NIEL skrev:

jag använder formeln sin(2u)=2sin(u)cos(u)\sin(2u)=2\sin(u)\cos(u)

sin(x)cos(x)=12·2sin(x)cos(x)=12·sin(2x)\sin(x)\cos(x)=\frac 12 \cdot 2\sin(x)\cos(x)=\frac 12\cdot \sin(2x)

Sen ska det ju vara i kvadrat också, är du med?

ja och sin² = 1-cos² 

(1-cos²x)(2x)42x-2xcos²x4x2-xcos²x2

 vi har fortfarande en produkt och cos²x...

D4NIEL 728
Postad: 18 mar 22:04 Redigerad: 18 mar 22:07

Jag är inte med på vad du menar

Från början har vi

(sin(x)cos(x))2(\sin(x)\cos(x))^2

som vi skriver om enligt

(sin(x)cos(x))2=14sin2(2x)(\sin(x)\cos(x))^2=\frac14 \sin^2(2x)

Edit: Aaah, du kanske menar att du skriver om sin2(2x)\sin^2(2x)?

Använd istället

sin2(u)=1-cos(2u)2\displaystyle \sin^2(u)=\frac{1-\cos(2u)}{2}

Nichrome 1707
Postad: 18 mar 22:11
D4NIEL skrev:

Jag är inte med på vad du menar

Från början har vi

(sin(x)cos(x))2(\sin(x)\cos(x))^2

som vi skriver om enligt

(sin(x)cos(x))2=14sin2(2x)(\sin(x)\cos(x))^2=\frac14 \sin^2(2x)

Edit: Aaah, du kanske menar att du skriver om sin2(2x)\sin^2(2x)?

Använd istället

sin2(u)=1-cos(2u)2\displaystyle \sin^2(u)=\frac{1-\cos(2u)}{2}

jag  fortsatte räkna på det du skrev här: "Sen kan vi lösa ut vad en sin² är ur den andra formeln..."

D4NIEL 728
Postad: 18 mar 22:14 Redigerad: 18 mar 22:15

Mm, jag var inte uppmärksam, sorry. Men se om du kan använda sambandet

sin2(u)=1-cos(2u)2\displaystyle \sin^2(u)=\frac{1-\cos(2u)}{2}

Som alltså bara den andra formeln för den dubbla vinkeln lite omskriven. (se mitt första inlägg)

dvs

14sin2(2x)=...\frac14\sin^2(2x)=...

Nichrome 1707
Postad: 18 mar 22:18
D4NIEL skrev:

Mm, jag var inte uppmärksam, sorry. Men se om du kan använda sambandet

sin2(u)=1-cos(2u)2\displaystyle \sin^2(u)=\frac{1-\cos(2u)}{2}

Som alltså bara den andra formeln för den dubbla vinkeln lite omskriven. (se mitt första inlägg)

dvs

14sin2(2x)=...\frac14\sin^2(2x)=...

nu hänger jag inte riktigt med hur kopplar vi sin²(2x) men sin²x? 

D4NIEL 728
Postad: 18 mar 22:20
Nichrome skrev:

nu hänger jag inte riktigt med hur kopplar vi sin²(2x) men sin²x? 

Vi låter u=2xu=2x, så överallt där det står uu skriver vi istället 2x2x

Nichrome 1707
Postad: 18 mar 22:20 Redigerad: 18 mar 22:21
D4NIEL skrev:
Nichrome skrev:

nu hänger jag inte riktigt med hur kopplar vi sin²(2x) men sin²x? 

Vi låter u=2xu=2x, så överallt där det står uu skriver vi istället 2x2x

ja jag ser skillnaden mellan 2x och x men skulle det inte förändra hela uttrycket för det är en sinusfunktion 

D4NIEL 728
Postad: 18 mar 22:22 Redigerad: 18 mar 22:23

Kan hända att jag missförstår din fråga men om sambandet är

sin2(u)=1-cos(2u)2\displaystyle \sin^2(u)=\frac{1-\cos(2u)}{2}

Så gäller det ju oavsett om vinkeln är x=15° eller om vinkeln är 30° (2x)

Nichrome 1707
Postad: 18 mar 22:25
D4NIEL skrev:

Kan hända att jag missförstår din fråga men om sambandet är

sin2(u)=1-cos(2u)2\displaystyle \sin^2(u)=\frac{1-\cos(2u)}{2}

Så gäller det ju oavsett om vinkeln är x=15° eller om vinkeln är 30° (2x)

så vi kan skriva om det så 

14sin²(2x)=14×1-cos2x2=1-cos2x8

(återigen hur integrerar man en kvot?)

D4NIEL 728
Postad: 18 mar 22:27 Redigerad: 18 mar 22:28

Nästan rätt fast lite slarv, tänk på att om det står 2u2u och u=2xu=2x så är 2u=4x2u=4x

14sin2(2x)=18(1-cos(4x))\frac14\sin^2(2x)=\frac18(1-\cos(4x))

Och faktorn 18\frac18 är bara en konstant du kan sätta utanför integrationstecknet.

18(1-cos(4x))dx\displaystyle \frac18 \int (1-\cos(4x))\,dx

Svara Avbryt
Close