Integral från den varma underjorden, som poeten säger (del 2)

Pust. Det är som de mörkaste timmar av matte 4.

Jag har testat ALLT:

1. Gruvarbetare vägen

${\int }_a^{b}2\mathrm{\pi } \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right) \sqrt{1-{\left(\mathrm{f}\text{'}\mathrm{x}\right)}^2}\mathrm{dx}$

$$\begin{gathered} f\left(x\right)=(4-x^2{)}^{\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.} \\ f\text{'}(x)=\frac{-2x}{2\sqrt{4-x^2}} \\ {\left(f\text{'}\left(x\right)\right)}^2=\frac{-2x}{2\sqrt{4-x^2}}=\frac{x^2}{4-x^2} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} 2\mathrm{\pi }{\int }_{-1}^1 \sqrt{4-x^2 }\sqrt{1-\frac{x^2}{4-x^2}}\mathrm{dx} \\ 2\mathrm{\pi }{\int }_{-1}^1 \sqrt{4 -\frac{4x^2}{4-x^2}-x^2+\frac{x^4}{4-x^2}}\mathrm{dx} \\ 2\mathrm{\pi }{\int }_{-1}^1 \sqrt{\left(4 -x^2\right)+\frac{-4x^2+x^4}{4-x^2}}\mathrm{dx} \\ 2\mathrm{\pi }{\int }_{-1}^1 \sqrt{\left(4 -x^2\right)-\frac{x^2(4 -x^2)}{4-x^2}}\mathrm{dx} \\ 2\mathrm{\pi }{\int }_{-1}^1 \sqrt{4 -x^2-x^2}\mathrm{dx} \end{gathered}$$

Visade det till Integrationskatten för rådgivning:

2. Testade med Dr. Gs metod:

$$\begin{gathered} {\int }_a^{b}2\mathrm{\pi } \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right) \sqrt{1-{\left(\mathrm{f}\text{'}\mathrm{x}\right)}^2}\mathrm{dx} \\ f\left(x\right)=\sqrt{4-x^2} \\ t=4-x^2 \\ dt=-2x dx \\ dx=\frac{dt}{-2x^2} \end{gathered}$$

${\left(f\text{'}x\right)}^2=\frac{x^2}{4-x^2}=\frac{d{t}^2}{t}$

${\int }_a^{b}2\mathrm{\pi } \sqrt{t} \sqrt{1-\frac{d{t}^2}{t}·}\frac{dt}{-2x}$

Integrationskatten:

3. Försökt att arcsina min väg ut 

$$\begin{gathered} \left[x=4\sin u \\ u= arc\sin \frac{{\displaystyle x}}{4} \\ dx=4\cos u du\right] \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \frac{\cancel{2}\mathrm{\pi }}{\cancel{2}}{\int }_a^b\sqrt{1-{\sin }^{2}u} \sqrt{1-{\left(\mathrm{f}\text{'}\mathrm{x}\right)}^2}\mathrm{dx}= \\ \mathrm{\pi }{\int }_a^b\mathrm{cosu} \sqrt{1-(-\sin u{)}^2}4 \cos u=\mathrm{\pi }{\int }_a^b{\cos }^{2}u 4 \cos u \\ 4\mathrm{\pi }{\int }_a^b{\cos }^{3}u \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \cancel{4}\mathrm{\pi }{\left[\frac{{\cos }^4\mathrm{u}}{\cancel{4}} -\mathrm{sinu}\right]}_{\mathrm{a}}^{\mathrm{b}} \\ \mathrm{\pi }{\left[-{\mathrm{sincos}}^4\mathrm{u}\right]}_{\mathrm{a}}^{\mathrm{b}} ? \end{gathered}$$

Isf blir mina konstant a och b: $u= arc\sin \frac{{\displaystyle 1}}{4} och arc\sin -\frac{{\displaystyle 1}}{4}$?

Jag vågar inte samtala med Integrationskatten längre....

EDIT:

4. Ge mig pity-point metoden

Jag har även testat den här som man gör på prov när man misslyckas och hoppas examinatören ger en pity poäng.

$\sqrt{4-x^2}$ kommer att bygga en stor boll, så area formeln blir: $4{\mathrm{\pi r}}^2$

$$\begin{gathered} {\int }_a^{b}4{\mathrm{\pi r}}^{2}dr \\ {\int }_{-1}^{1}4\pi {\sqrt{4-x^2}}^{2}dx \\ 4\mathrm{\pi }{\int }_{-1}^{1}4-x^{2}dx=4\mathrm{\pi }{\left[4x-\frac{x^3}{3}\right]}_{-1}^1 \end{gathered}$$ 

som blir noll!