Integral från den varma underjorden, som poeten säger.

Otroligt, det verkar att dem växer utan slut der nere, klimaten måste vara riktigt skönt.

Men men. Nu räknar vi en rotationsarea.

$f(x)=x^3$ $1\leq x\leq2$.

$A=2\pi\int_1^2f(x)\sqrt{1+f'(x)^2}dx$, där $2\pi \cdot f(x)$ är omkretsen av min cylinder och $\sqrt{1+f'(x)^2}dx$ längden på min sida.

$A=2\pi\int_1^2\;x^3\;\sqrt{1+(3x^2)^2}dx$

Vi detekterar en uttryck i formen $\sqrt{1+x^2}$ som gömer sig i bakgrunden och drar omedelbart våra tumregel att $\sqrt{1+x^2} ---> tangente$!!

$$\begin{gathered} \left[3x^2=\tan t \\ t=arc\tan \left(3x^2\right) \\ dx=\frac{1}{{\cos }^{2}t}dt\right] \end{gathered}$$ 

och $1+{\left(3x^2\right)}^2=1+{\tan }^{2}t=\frac{1}{{\cos }^{2}t}$ och $x^3={\left(\frac{\tan t}{3}\right)}^{\raisebox{1ex}{$3$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.}$, som ser inte så bra ut för framtiden om jag måste bedöma själv...

$\displaystyle A=2\pi\int_1^2\;\left(\frac{tant}3 \right)^{3/2}\;\frac{dt}{cos^3t}$

$A=2\pi\int_1^2\;(\frac{tant}3)^{3/2}\;\frac{dt}{cos^3t}$

$\displaystyle A=2\pi\int_1^2\;\frac{sint\sqrt{sint}}{3cost\sqrt{cost}}\;\frac{dt}{cos^3t}$

$\displaystyle A=2\pi\int_1^2\;\frac{dt \cdot sint\sqrt{sint}}{3cos^4t\sqrt{cost}}$

Jag vill gärna stanna länge på den här fest men helvetisk värme är dålig för känslig hud. 

Vart har jag klantrat mig den här gången?

Sidofråga: varför funkar inte detta kodbox på PA?

$$\left[
\begin{align*}
3x^3 = tan t\
t = arctan (3x^2)\
dx=\frac{1}{cos^2t}\
\end{align*}
\right]
$$