Integral, invers substitution

Hej, jag skulle behöva lite hjälp med en återsubstitution.

Jag har följande integral:

$\int \frac{\sqrt{x^2-1}}{x}dx$

Som jag tar fram primitiv till genom att substituera $x=sec \theta$

Detta ger mig en primitiv enligt följande utseende:

$\tan \theta -\theta +C$

Vid återsubstitution $\theta =se{c}^{-1}\left(x\right)$

Ger --> $\left(\tan \right(se{c}^{-1}\left(x\right))-se{c}^{-1}(x)+C)\leftrightarrow (\sqrt{x^2-1 }-se{c}^{-1}(x)+C))$

Så långt är jag med. Vad jag nu inte riktigt är med på är att:

$(\sqrt{x^2-1}-se{c}^{-1}(x)+C) =(\sqrt{x^2-1}+{\tan }^{-1}(\frac{1}{\sqrt{x^2-1}})+C)$

Som också är det rätta svaret. Frågan är alltså hur omskrivningen går till? dvs hur $-se{c}^{-1}\left(x\right)={\tan }^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}\right)$ ??

Detta kanske är fundamentalt och något jag bör förstå..

men jag skulle uppskatta om någon kunde förklara precis hur omskrivningen går till?

Tack på förhand.