Integral med absolutbelopp

Då kan du dela in intervallet [0, 2] i två intervall, beroende på tecknet på x²-x.

Laguna skrev:

Då kan du dela in intervallet [0, 2] i två intervall, beroende på tecknet på x²-x.

Grafen ser ut såhär. Jag tänker arean blir mellan [1,2] och sen [0,1]. Vi kan se att det är en triangel och en halvcirkel .

Hur stor är delen mellan 0 och 1?

Laguna skrev:

Hur stor är delen mellan 0 och 1?

pi*r^2/2=pi*(1/2)^2/2

Nej, inte alls. Det kanske liknar en cirkelbåge, men använd det du vet. Räkna ut arean med en integral.

Laguna skrev:

Nej, inte alls. Det kanske liknar en cirkelbåge, men använd det du vet. Räkna ut arean med en integral.

Jag får att arean är -1/6 enligt sättet nedan. Det låter inte troligt eller så ska man behålla absolutbeloppet hela vägen?

Är |x²-x| = x²-x på det intervallet?

Laguna skrev:

Är |x²-x| = x²-x på det intervallet?

Som sagt om jag räknar med absolutbeloppet så får jag 1/6.

|x²-x| är antingen x²-x eller -(x²-x). Vilket är det?

Laguna skrev:

|x²-x| är antingen x²-x eller -(x²-x). Vilket är det?

Ja det stämmer. I det intervallet ser det ut som -(x^2-x)

Då är det det du ska integrera.

Laguna skrev:

Då är det det du ska integrera.

från 0 till 1?

Just nu, ja.

Laguna skrev:

Just nu, ja.

Jag får 1/6

Det stämmer.

Vad blir integralens värde i det andra intervallet?

Yngve skrev:

Det stämmer.

Vad blir integrakens värde i det andra intervallet?

Där fick jag till 1/2

Det stämmer inte. Visa hur du räknade.

Yngve skrev:

Det stämmer inte. Visa hur du räknade.

I grafen kan man ju se att basen är 1 och höjden är 2 i intervallet är (1,2). 

Det är inte en triangel, det är en parabel.

Jag tror att det underlättar om du skriver ut funktionsuttrycket i sin helhet i de olika intervallen.

Det gäller att

• $|x^2-x|=x^2-x$ då $x<0$
• $|x^2-x|=x-x^2$ då $0\leq x<1$
• $|x^2-x|=x^2-x$ då $x\geq1$

Du ska alltså beräkna integralen av $x^2-x$ från $x=1$ till $x=2$

Yngve skrev:

Det är inte en triangel, det är en parabel.

Jag tror att det underlättar om du skriver ut funktionsuttrycket i sin helhet i de olika intervallen.

Det gäller att

• $|x^2-x|=x^2-x$ då $x<0$
• $|x^2-x|=x-x^2$ då $0\leq x<1$
• $|x^2-x|=x^2-x$ då $x\geq1$

Du ska alltså beräkna integralen av $x^2-x$ från $x=1$ till $x=2$

Okej. Hur fick du 0<=x<1 samt x>=1? Jag har såhär istället 

|x^2-x|= (x^2-x) , då x>=0 eller x>=1 

-(x^2-x) då x<0 eller x<1. 

destiny99 skrev:

[...]

Jag har såhär istället 

|x^2-x|= (x^2-x) , då x>=0 eller x>=1  -(x^2-x) då x<0 eller x<1. 

Visa hur du kom fram till detta så hjälper vi dig att hitta felet.

Yngve skrev:

destiny99 skrev:

Okej. Hur fick du 0<x<1 samt x>=1? Jag har såhär istället 

|x^2-x|= (x^2-x) , då x>=0 eller x>=1  -(x^2-x) då x<0 eller x<1. 

Visa hur du kom fram till detta så hjälper vi dig att hitta felet.

Jag har inte räknat på något utan försökt dela in intervallet som du gjorde fast på mitt sätt. Är mitt sätt korrekt också?

Förslag:

Utgå från definitionen av absolutbelopp, nämligen

• $|a|=a$, då $a\geq0$
• $|a|=-a$, då $a<0$

Det ger dig att

• $|x^2-x|=x^2-x$, då $x^2-x\geq0$
• $|x^2-x|=-(x^2-x)$, då $x^2-x<0$

Intervallindrlningen får du nu genom att ta reda på när $x^2-x$ är större/mindre än 0.

Då föreslår jag att du faktoriserar uttrycket $x^2-x$ till $x(x-1)$.

Produkten av två faktorer är

• mindre än 0 när faktorerna har olika tecken. 
• större än 0 när faktorerna har samma tecken. 
• lika med 0 när någon av faktorerna är lika med 0.

Gör gärna en teckentabell för detta.

destiny99 skrev:

Jag har inte räknat på något utan försökt dela in intervallet som du gjorde fast på mitt sätt. Är mitt sätt korrekt också?

Nej, det är inte korrekt. Dina intervall $x\geq0$ och $x<1$ överlappar varandra.

Enligt din beskrivning så skulle x²-x skrivas både som x²-x och -(x²-x) för alla x i intervallet (0,1)

Yngve skrev:

destiny99 skrev:

Jag har inte räknat på något utan försökt dela in intervallet som du gjorde fast på mitt sätt. Är mitt sätt korrekt också?

Nej, det är inte korrekt. Dina intervall $x\geq0$ och $x<1$ överlappar varandra.

Aa okej.

destiny99 skrev:

Aa okej.

Läs mitt tillägg på svaret.

Yngve skrev:

destiny99 skrev:

Jag har inte räknat på något utan försökt dela in intervallet som du gjorde fast på mitt sätt. Är mitt sätt korrekt också?

Nej, det är inte korrekt. Dina intervall $x\geq0$ och $x<1$ överlappar varandra.

Enligt din beskrivning så skulle x²-x skrivas både som x²-x och -(x²-x) för alla x i intervallet (0,1)

Ja precis. Så första ekvationen x^2-x ska vi använda för att integrera mellan 1 till 2?

En teckentabell är ett väldigt effektivt verktyg om man vill ta reda på när en produkt (eller en kvot) har ett positivt eller negativt värde. Vet du hur en sån kan se ut?

Yngve skrev:

En teckentabell är ett väldigt effektivt verktyg om man vill ta reda på när en produkt (eller en kvot) har ett positivt eller negativt värde. Vet du hur en sån kan se ut?

Ja men vi är utanför tråden tror jag. Jag kan absolut göra tecken tabell för två olika fallen.

Det är ett steg i att strukturerat komma fram till när uttrycket x²2-x är positivt/negativt, vilket du behöver kunna göra för att bestämma hur integranderna ska se ut.

Yngve skrev:

Det är ett steg i att strukturerat komma fram till när uttrycket x²2-x är positivt/negativt, vilket du behöver kunna göra för att bestämma hur integranderna ska se ut.

Vi ser att mellan 0 och 1 är uttrycket x^2-x negativt

OK, jag tycker att det blir enklare och tydligare att göra en rad för varje faktor och sätta produkten på nedersta raden.

Då minimeras tankearbetet och dörmed risken för fel.

Så här:

Yngve skrev:

OK, jag tycker att det blir enklare och tydligare att göra en rad för varje faktor och sätta produkten på nedersta raden.

Då minimeras tankearbetet och dörmed risken för fel.

Så här:

Ja så kan man också göra.

Kommer du vidare då?

Yngve skrev:

Kommer du vidare då?

Ja