4 svar
654 visningar
gulfi52 896 – Fd. Medlem
Postad: 28 dec 2017 10:51

Integral med gränsvärde

Tycker gränsvärden och att räkna med ngt som "går åt" ett tal är knepigt. 

Jag får rätt svar men har jag gjort rätt med gränsvärdes beräkningen, från där det står en ring kring ett uttryck med lim e--> 0+

(OBS strunta i frågorna som är inrutade i vänster kant)

Stokastisk 3597 – Fd. Medlem
Postad: 28 dec 2017 11:16

Nej det inte är inte korrekt att tänka att ϵln(ϵ) \epsilon\ln(\epsilon) är lika med 0·- 0 \cdot -\infty . I detta fall är det däremot korrekt att ϵln(ϵ)0 \epsilon \ln(\epsilon) \rightarrow 0 ϵ0+ \epsilon \rightarrow 0^+ . Detta är ett standardgränsvärde, det kanske blir mer uppenbart om man låter ϵ=ex \epsilon = e^x , så då får man gränsvärdet

limx-xex

Eftersom ex e^x går mycket mycket fortare mot noll än vad x x går mot - -\infty så kommer detta gränsvärde vara 0.

gulfi52 896 – Fd. Medlem
Postad: 28 dec 2017 13:51

Är inte med på hur man får byta epsilon mot e^x.

men har jag räknat rätt om jag istället uttrycker mig/sammanfattar med att detta GÅR mot pi, och med det är integralen konvergent med talet po - vilket här är arean under grafen som jag söker?

Stokastisk 3597 – Fd. Medlem
Postad: 28 dec 2017 14:22

Man kallar egentligen bara variabeln ϵ \epsilon för något annat ungefär. Om man låter x=ln(ϵ) x = \ln(\epsilon) , så vet vi att då ϵ0+ \epsilon \rightarrow 0^+ så går x- x \rightarrow -\infty . Så man får att

ϵln(ϵ)=exx=xex \epsilon \ln(\epsilon) = e^x x = xe^x

och sätter man in gränsvärdet nu också så får man så som jag skrev.

Ja du uttrycker dig rätt om du säger att det går mot π \pi , så det skulle vara korrekt. Sen kan det vara så att om du skriver det på en tenta så skulle dem vilja att du motiverar att ϵln(ϵ) \epsilon\ln(\epsilon) går mot noll, vilket du kan göra genom att bara säga att det är ett standardgränsvärde.

Albiki 5096 – Fd. Medlem
Postad: 28 dec 2017 17:14

Hej!

Eftersom funktionen lny \ln y är obegränsad när y y är nära 0 0 måste du studera hur integralen beter sig på ett öppet intervall (ϵ,1) (\epsilon,1) där ϵ>0 . \epsilon > 0\ .

Om gränsvärdet

    limϵ0ϵ1lnydy \lim_{\epsilon \to 0} \int_{\epsilon}^{1} \ln y\,\text{d}y

existerar så är integralen lika med -1π -\frac{1}{\pi} gånger detta gränsvärde.

En partiell integration ger talet

    ϵ1lnydy=[ylny]ϵ1-ϵ11dy=-ϵlnϵ-(1-ϵ) . \int_{\epsilon}^{1} \ln y\,\text{d}y = [y\ln y]_{\epsilon}^{1} - \int_{\epsilon}^{1}1\,\text{d}y = -\epsilon\ln \epsilon - (1-\epsilon)\ .

Ett standardgränsvärde ger

    limϵ0ϵlnϵ=0 \lim_{\epsilon \to 0}\epsilon\ln \epsilon = 0

och du ser att "integral-gränsvärdet" existerar och att det är lika med -1. -1.

Resultat: Talet

    -π01lnydx -\pi\int_{0}^{1}\ln y\,\text{d}x

existerar och är lika med π . \pi\ .

Svara Avbryt
Close