Integral med Lim (Matematik/Universitet)

När jag ser någonting på formen $\frac{k}{m + x^{2}}$ (k och m är konstanter) tänker jag alltid på arctangens, eftersom arctangens har derivatan $D (\arctan (x)) = \frac{1}{1 + x^{2}}$ . Om vi kan få vårt uttryck att ha den formen, kan vi integrera till arctangens. I detta fall är det femman som är i vägen. Vi skulle vilja substituera bort x till något så att vi kan bryta ut och få bort femman.

Om vi provar att bryta ut en femma nu, får vi nämnaren $5 (1 + \frac{1}{5} x^{2}) = 5 (1 + {(\frac{1}{\sqrt{5}} x)}^{2})$ . Vi sätter därför variabeln t till $t = \frac{1}{\sqrt{5}} x$ , och får då integranden $\frac{1}{5} \cdot \sqrt{5} \cdot \frac{1}{1 + t^{2}}$ . Hur blir det med differentialen (det som i vår ursprungsintegral var "dx")? :)

dx= $\sqrt{5} d y$

Alltså ser integralen ut så här: $\int \frac{\sqrt{5} \times \sqrt{5}}{5 + 5 y^{2}} d y = \frac{5}{5 + 5 y^{2}} d y = \frac{1}{1 + y^{2}} d y p r i m i t i v a r c \tan y$

Stort tack för hjälpen.

Japp! Glöm bara inte att byta tillbaka till x när du har integrerat. Och glöm inte +C! :D

Jag roterade din bild så det är enklare att läsa. Notera att du själv kan rotera felroterade bilder genom att trycka på redigera -> trycka på bilden -> använda pilarna för att rotera bilden. /Dracaena, moderator

Smutstvätt skrev:
Japp! Glöm bara inte att byta tillbaka till x när du har integrerat. Och glöm inte +C! :D

Nejdå, glömmer aldrig C ;).

Dracaena skrev:
Jag roterade din bild så det är enklare att läsa. Notera att du själv kan rotera felroterade bilder genom att trycka på redigera -> trycka på bilden -> använda pilarna för att rotera bilden. /Dracaena, moderator

Japp, tack för info.

sebone skrev:
Smutstvätt skrev:
Japp! Glöm bara inte att byta tillbaka till x när du har integrerat. Och glöm inte +C! :D

Nejdå, glömmer aldrig C ;).

Smutstvätt skrev:
sebone skrev:
Smutstvätt skrev:
Japp! Glöm bara inte att byta tillbaka till x när du har integrerat. Och glöm inte +C! :D

Nejdå, glömmer aldrig C ;).

Hahaha, tur att vi bara glömmer C i matematiken. :D