Integral över halvklot i en viss vinkel, förvirrad över lösningsförslag

Hej!

Jag gjorde några gamla tentor på en annan flervarrekurs (SF1626 2015-03-16) och stötte på följande fråga:

Ett massivt halvklot $K$ med radie $a$ och konstant densitet $\rho$ placeras på ett horisontellt plan med den sfäriska delen av ytan nedåt och så att dess symmetriaxel bildar vinkeln $\alpha$ mot vertikalen.
Bestäm halvklotets potentiella energi
$\displaystyle W =\iiint_K \rho g zdxdydz,$
där $z$ anger höjden ovanför planet och $g$ är tyngkraftaccelerationen.

Min lösning

Mitt sätt att lösa uppgiften var att notera att

K

är ett klot med radie

a

och mittpunkt

(0,0,a)

(

x,y

koordinaterna sätts till 0, det är trevligast!) som ligger under ett visst plan. Vi kan "rotera" klotet så att normalen till klotets mittpunkt pekar "längs"

x

-axeln (alltså att projektionen på

xy

planet är parallell med

x

-axeln) och då ges normalen av vektorn

(\sin\alpha, 0,\cos\alpha)

. Planet vi söker ges alltså av

x\sin \alpha+z\cos\alpha = a\cos\alpha

(då

(0,0,a)

ligger i planet).

Därmed är

K = \{(x,y,z) \in \mathbb R^3: x^2 + y^2 + (z-a)^2 \leq a^2,x\sin \alpha+z\cos\alpha\leq a\cos\alpha\}

. Härifrån kan man ansätta sfäriska koordinater

x = r\cos(\varphi) \sin\theta

z = a+ r\sin(\varphi) \sin\theta

y = r\cos \theta

där

0\leq \theta \leq \pi

0\leq r \leq a

.
För att få fram gränserna på

\varphi

sätter man in de nya variablerna i ekvationen för planet vilket, efter förenkling, blir ekvivalent med att

\sin(\alpha + \varphi) \leq 0

och därmed ska

\pi - \alpha \leq \varphi \leq 2\pi-\alpha

. Då ställs integralen upp som

\displaystyle \iiint_K zdxdydz = \int_{0}^{a}\int_{\pi-\alpha}^{2\pi-\alpha}\int_{0}^{\pi}\left(r\sin\left(\phi\right)\sin\left(\theta\right)+a\right)r^{2}\sin\left(\theta\right)d\theta d\varphi dr,

och härifrån är det bara vanlig integration, inget spännande.

De utnyttjar också sfäriska koordinater i lösningsförslaget, men jag är inte med på deras motivationer. De skriver:

"Ett annat sätt att beräkna detta är genom att använda sfäriska koordinater där vi lägger axeln genom polerna efter den linje på halvklotets platta sida som ligger horisontellt. Integrationsområdet ges då av $0\leq \varphi \leq \pi,\alpha \leq \theta \leq \pi + \alpha$ och $0 \leq r \leq a$ . Höjden över planet ges av $a-r\sin\varphi \sin\theta$ [...]".

Integralen upp baserat på detta och beräknas, inget spännande. Själva integrationsområdet liknar min integral och man kan få mitt område genom substitutionen $\varphi_2 = 2\pi - \varphi$ om man kastar om rollerna på $\theta$ och $\varphi$ i mitt område.

Jag är dock inte med på hur de motiverar. Jag ser inte vilken linje de syftar på i den första meningen. Jag antar att det är någon linje som tangerar den platta sidan och det bör inte spela roll vilken pga symmetri. Hur det leder till gränserna för det sfäriska koordinatbytet ser jag inte.

Svara