Integral skivmetod (hål under ena funktionen)

Kan du lägga in en bild av uppgiften?

Det område som begränsas av y-axeln, y = $\sqrt{2x}$ och y = 4 roterar runt y-axeln. Beräkna rotationskroppens volym. Svara i v.e.

Du har ritat upp rätt bild men verkar vilja integrera fel funktion. Det du skriver skulle ha varit korrekt om du hade roterat kurvan kring x-axeln istället.

Jag ser inga hål. Varje cirkulär skiva har radien x(y) och tjockleken $\Delta y$. Integrationsgränserna är 0 och 4.

Problemet är nu att få fram x(y) när man vet att $y=\sqrt{2x}$. Vet du hur du skall göra detta?

Som jag tolkade det så blildar funktionen tillsammans med linjen y=4 en uppånervänd kona typ. och att det är tomrum under funktionen y=$\sqrt{2x}$. Men nu har jag insett att det inte alls är ett problem.

Rent teoretiskt skulle jag vilja göra följande

${\int }_0^4(övre funktion)-(övre funktion)dy$

Eftersom man använder $V={\int }_{}^{}{\mathrm{\pi x}}^{2}dy$

Så precis som du sa vill jag skriva om y=4 och y=$\sqrt{2x}$ till att ha x²=y så jag kan använda det i formeln. Jag får då:

$y=\sqrt{2x}$->$x^2=\frac{y^4}{2}$

Men linjen y=4 vet jag ej hur jag ska manipulera för att kunna stoppa in den i formeln. Inte helt 100 på att jag gjorde rätt åvan heller.

**EDIT**

ser nu att jag antagligen gjorde fel. 

$y=\sqrt{2x }$-->$x^2=\frac{y^4}{4}$

Sen stoppar jag in det i integralen:

$$\begin{gathered} {\int }_0^4\mathrm{\pi }\left(\frac{{\mathrm{y}}^4}{4}\right)dy =\mathrm{\pi } \left[\begin{array}{c}{y}^5\\ 5\end{array}\right]\begin{array}{c}4\\ \\ 0\end{array} \\ \mathrm{\pi }\left(\frac{4^5}{5}\right)-\left(0\right)= \\ =\mathrm{\pi }\left(\frac{1024}{5}\right) \\ =\frac{\mathrm{\pi }1024}{5} \\ 204,8\mathrm{\pi } \mathrm{v}.\mathrm{e} \end{gathered}$$

Ser detta vettigt ut?

Jag förstår inte vad det är du försöker göra. Kan du förklara tydligare?

Jag skulle föreslå att du istället börjar med att räkna ut hur stor varje skiva är. Sedan integrerar du över alla y-värden. 

Redigarade mitt föregående svar. Känns som att det är ganska rimligt svar?

*EDIT*

Nej ser nu att jag har räknat ut rotationsvolymen för y = $\sqrt{2x}$ istället för det område som anges i uppgiften.

Jag är vilse när det kommer till vad jag ska göra med y=4

Det är väl funktionen $y=\sqrt{2x}$ man har roterat, vad tycker du det skulle vara istället? 

Om det hade varit en kon istället med radien 8 och höjden 4 så skulle volymen ha varit $\frac{\pi\cdot8^2\cdot4}{3}=\frac{256\pi}{3}$. 256/3 är ungefär 85. 1024/5 är drygt 200. Kroppen i uppgiften är lite mindre än konen. Detta är inte rimligt. 

Vart tog nämnaren 4 vägen när du gjorde den primitiva funktionen?

såg att jag gjorde helt fel när jag skulle skriva den primitiva funktionen. När jag fixade det så löste det sig. fick det till ca 160 v.e