Integral till en trigonometrisk funktion

Det måste vara rätt att börja med att förenkla insidan av sinus: sätt x³ = t.

Sedan blir det nog partiell integrering.

Laguna skrev:

Det måste vara rätt att börja med att förenkla insidan av sinus: sätt x³ = t.

Sedan blir det nog partiell integrering.

Hur blir då omskrivningen av x^5? Annars får jag ju: $t*t^{2/3}*\sin \left(t\right)$ vilket inte gör det enklare :/ 

$\frac{dt}{dx}=3x^2\Rightarrow$
$x^5dx=\frac{1}{3}\cdot tdt$

tomast80 skrev:

$\frac{dt}{dx}=3x^2\Rightarrow$
$x^5dx=\frac{1}{3}\cdot tdt$

Okej nu förstår jag uppställningen, men jag hamnar i en oändlig integral loop när jag börjat, såhär ser det ut: $\int fg\text{'} = fg-\int f\text{'}g -> \int \frac{t}{3}\sin \left(t\right) = -\frac{t}{3}\cos \left(t\right) - \int \frac{t^2}{6}*\sin \left(t\right)$

Fortsätter med att partial integrera den andra funktionen: $\int \frac{t^2}{6}*\sin \left(t\right) = -\frac{t^2}{6}\cos \left(t\right) - \int \frac{t^3}{18}\sin \left(t\right)$

Den kan ju hålla på såhär i all oändlighet?

Mja, men välj f och g i den partiella integreringen så att gradtalet för t minskar i stället för ökar.

Laguna skrev:

Mja, men välj f och g i den partiella integreringen så att gradtalet för t minskar i stället för ökar.

Jag testade att vända om på f och g, då blev det som du sa att gradtalen inte ökar. Får fram detta då:

$\int \sin \left(t\right)*\frac{t}{3} = \sin \left(t\right)*\frac{t^2}{6} - \int -\cos \left(t\right)*\frac{t}{3}$, men hur vet jag då när uttrycket inte behöver integreras mer? Eller räcker det med att man bara utföra partial integrationen en gång? Med tanke på att jag också kan hamna i en oändlig loop med att integrera det sista uttrycket

Man kan så att säga hamna i en oändlig loop, men ofta är den av slaget f(x) = nånting - 1/2 f(x), så att man sen kan lösa ut f(x) ur ekvationen.

Precis, ett exempel är när man försöker räkna ut följande integral medelst partiell integration:

$\displaystyle \int_0^{\pi}e^{kx}\sin{(mx)}dx$

Nu förstår jag, tack så hemskt mycket!