Integralberäkning

Hej!

Jag har problem med frågan nedan. Går mattespecialisering på gymnasiet och det vi lärt oss är variabelsubstitution (funkar ej här eftersom en av faktorerna inte liknar derivatan av den andra), partialbråksuppdelning (funkar ej för finns inget bråk att dela upp) och partiell integration (vilket jag försökt göra, men ena termen blir integralen av 2xarctanx och eftersom vi inte lärt oss den primitiva funktionen av arctanx misstänker jag att vi ska kunna lösa den på annat sätt). Tacksam för all hjälp!

Eftersom svaret innehåller $\pi$ finns det inte särskilt många sätt att lösa den utan att ta primitiva av arctan. Av de lösningar jag ser tycker jag det är absolut den enklaste.

Det kan finnas några skojiga algebra knep istället för substitution eftersom uppgiften vill att du ska visa att funktionen är jämn, vilket är rätt onödigt om man använder substitution.

Jag skulle använda denna substitution

$x = \tan \theta$
$\frac{dx}{d\theta} = 1 + \tan^2 \theta$

Ett annat sätt är att skriva

$\displaystyle\frac{x^{2}}{x^{2}+1} = 1- \frac{1}{1+x^{2}}.$

Tack!

Förstår däremot inte hur $\frac{x^{2}}{x^{2} + 1} = 1 - \frac{1}{x^{2} + 1}$ . Varför är det så?

almasandra skrev:
Tack!

Förstår däremot inte hur $\frac{x^{2}}{x^{2} + 1} = 1 - \frac{1}{x^{2} + 1}$ . Varför är det så?

AlexMu, jag förstår inte hur du menar med att substituera $x = \tan θ$ . Var skulle du göra det? Jag får inte tan någonstans

Trinity2 skrev:
almasandra skrev:
Tack!

Förstår däremot inte hur $\frac{x^{2}}{x^{2} + 1} = 1 - \frac{1}{x^{2} + 1}$ . Varför är det så?

Smart!! Tack !

almasandra skrev:
AlexMu, jag förstår inte hur du menar med att substituera $x = \tan θ$ . Var skulle du göra det? Jag får inte tan någonstans

Det är bara en variabelsubstitution. Anledningen i detta fall att göra det är att nämnaren förenklas eftersom $\frac{1}{\tan^2 \theta + 1} = \cos^2{\theta}$ enligt trig-ettan. Dock är detta lite av det du ville undvika eftersom det kommer essentiellt leda till att få arctan som primitiv

Hade inget att göra…

https://mathb.in/80941

Som komplement till Trinitys lösning kan vi nämna att det finns en variant av trig-ettan som man kan använda på gymnasienivå när man vill integrera uttryck med $\tan^2\left(\theta\right)$

$\displaystyle \frac{1}{\cos^2\left(\theta\right)}-\tan^2\left(\theta\right)=1$

Det underlättar eftersom det anses känt att $\frac{1}{\cos^2(\theta)}$ är derivatan av $\tan\left(\theta\right)$

D4NIEL skrev:
Som komplement till Trinitys lösning kan vi nämna att det finns en variant av trig-ettan som man kan använda på gymnasienivå när man vill integrera uttryck med $\tan^2\left(\theta\right)$

$\displaystyle \frac{1}{\cos^2\left(\theta\right)}-\tan^2\left(\theta\right)=1$

Det underlättar eftersom det anses känt att $\frac{1}{\cos^2(\theta)}$ är derivatan av $\tan\left(\theta\right)$

Jag tycker det är komiskt att det ofta är mycket lättare att integrera uttryck med trigonometriska funktioner^2 (bortsett från sin och cos). $\tan^2\theta$ är mycket lättare än $\tan \theta$ , samma gäller för $\csc\theta$ etc. Dock är det mycket logiskt att det är så.

Svara

Visa senaste svar