3 svar
44 visningar
Tuss är nöjd med hjälpen
Tuss 7
Postad: 22 jan 2021

Integralen av sin(kx) och cos(kx)?

Hej! Har lite svårt att förstå hur de primitiva funktionerna till dessa är F(x)=−cos(kx)/k+C och F(x)=sin(kx)/k+C, kan någon förklara varför?

PATENTERAMERA 2095
Postad: 22 jan 2021

Derivera dem och se vad du får.

Tuss 7
Postad: 22 jan 2021 Redigerad: 22 jan 2021

Ja, jag är med på det. Men liksom hur skulle jag kommit fram till de primitiva funktionerna om jag inte redan visste vad de var?

 

edit: Löste det med variabelsubstitution nu, tack ändå!

Yngve 20047 – Volontär digitala räknestugor
Postad: 22 jan 2021 Redigerad: 22 jan 2021

En bra metod är faktiskt att pröva sig fram.

Exempel: Ta fram den primitiva funktionen till f(x)=23x7f(x)=\frac{2^{3x}}{7}.

Jag vet att derivatan av 23x2^{3x} är 23x·ln2·32^{3x}\cdot\ln{2}\cdot3, dvs formen 23x2^{3x} är oförändrad vid derivering.

Därför bör den primitiva funktionen vara något med 23x2^{3x}

Vi prövar med en konstant gånger detta, dvs att F(x)=k·23xF(x)=k\cdot2^{3x}.

Vi deriverar nu vårt förslag till primitiv funktion: F'(x)=k·23x·ln(2)·3F'(x)=k\cdot2^{3x}\cdot\ln(2)\cdot3.

Vi vill att detta ska vara lika med f(x)f(x), villet ger oss ekvationen 

k·23x·ln(2)·3=23x7k\cdot2^{3x}\cdot\ln(2)\cdot3=\frac{2^{3x}}{7}

Om vi nu löser ut kk får vi k=17·ln(2)·3=121ln(2)k=\frac{1}{7\cdot\ln(2)\cdot3}=\frac{1}{21\ln(2)}

Vår primitiva funktion är därför F(x)=23x21ln(2)F(x)=\frac{2^{3x}}{21\ln(2)}

=====

Det behöver alltså inte bli rätt på första gissningen.

Gissa ett F(x), derivera, jämför med f(x), anpassa F(x), derivera igen o.s.v. till det gäller att F'(x) = f(x).

Svara Avbryt
Close