13 svar
102 visningar
erik är nöjd med hjälpen
erik 133
Postad: 20 maj 2020 17:07 Redigerad: 20 maj 2020 17:12

Integraler

Hej

Ska lösa integralen

0π/6(2sinx+5)cosx dx

Innan jag hittar den primitiva funktionen tänker jag att jag förenklar den första.

2sinx cosx +5cos x =

= sin2x + 5 cos x

men det är här det blir fel 

gäller integreringen bara för parantesen, måste jag alltså första räkna ut integralen för parantesen och sen multiplicera med cosx?

update: i facit är den primitiva funktionen av 2 sinx cosx = sin^2x, hur kommer dom fram till detta

Soderstrom 1299
Postad: 20 maj 2020 17:28

Nej. Integralen gäller för alla termer. Precis som vanligt. Du gjorde rätt när du utvecklade. 

Så om du ska integrera sin(x)sin(x), då får du -cos(x)-cos(x) eller hur? Fundera på vad integralen av sin(2x)sin(2x) blir.

erik 133
Postad: 20 maj 2020 17:33 Redigerad: 20 maj 2020 17:58

primitiva av sin(2x) bör bli -1/2cos(2x)

men som sagt i facit blir det sin^2x

update: ritade upp dessa två i desmos och de är inte lika, så något är fel

Smaragdalena 54758 – Lärare
Postad: 20 maj 2020 18:30

Har du råkat titta på fel uppgift i facit? I så fall är du inte den förste (eller den siste).

erik 133
Postad: 20 maj 2020 18:42

Ska försöka skriva av facit:

f´(x) = 2 sinx cosx + 5cosx

f(x) = (sinx)^2 + 5sinx + C

Skaft 1913 – F.d. Moderator
Postad: 20 maj 2020 18:43
erik skrev:

primitiva av sin(2x) bör bli -1/2cos(2x)

men som sagt i facit blir det sin^2x

update: ritade upp dessa två i desmos och de är inte lika, så något är fel

Jodå, formen är lika. De har olika placering i höjdled, men derivatan beskriver bara kurvornas lutning - och dessa kurvor lutar exakt lika mycket i varje punkt. Så integralen kan beräknas med båda dessa primitiva. Om du sänker ner sinuskurvan 0.5 steg ser du att de överlappar.

erik 133
Postad: 20 maj 2020 18:45

Okej då är jag med, men hur kommer man fram till det. Krävs för att lättare lösa uppgiften (som ska vara utan räknare)

Ture 3587
Postad: 20 maj 2020 18:50 Redigerad: 20 maj 2020 18:51

Den kompletta primitiva funktionen är

till 2sin(x)cos(x) är sin^2(x) +C

och till sin(2x) -0,5cos(2x) + D

konstanterna C och D blir  olika om du har ett fixt värde i ngn punkt, men när du räknar ut integralen har ju konstanterna ingen betydelse. 

erik 133
Postad: 20 maj 2020 18:51

fattar inte hur du kommer fram till den första

Skaft 1913 – F.d. Moderator
Postad: 20 maj 2020 18:53

Poängen är att du inte behöver hitta facits sin2(x), du kan lika gärna använda -cos(2x)/2. Och den kom du väl fram till utan räknare?

erik 133
Postad: 20 maj 2020 18:55

absolut, är bara nyfiken hur ni kommer fram till sin^2x

Skaft 1913 – F.d. Moderator
Postad: 20 maj 2020 19:01

Aha. Ett sätt är att använda ett skarpt matteöga: I 2*sinx*cosx så kan man känna igen cosx som derivatan av sinx. Då kanske allt är en funktion av sinx, så att cosx är den inre derivatan som plockats ut? Och visst, då kan 2:an komma från en nerplockad exponent:  sin2(x)\sin^2(x). Gör en provderivering - checks out!

Men ja, det är nog inte lätt att se förrän man redan sett det en bunt gånger.

Smaragdalena 54758 – Lärare
Postad: 20 maj 2020 19:02

I Ma5 ingår det partiell integration (åtminstone i vissa böcker). Jag tror den metoden skulle ge svaret från ditt facit.

dioid 181
Postad: 20 maj 2020 19:11

Det skarpa matteögat kan man använda direkt på uppgiften också, du ska integrera f(sin(x)) = 2sin(x) + 5 multiplicerat med derivatan av sin(x). Dvs f(t) = 2t+5 med primitiv F(t) = t^2 + 5t + C och alltså har den ursprungliga integranden en primitiv F(sin(x)) = sin^2(x) + 5sin(x) + C. Den här metoden kan formuleras mer generellt som variabelsubstitution men det kanske inte ingår i Matte4?

Svara Avbryt
Close