Integraler

naturarecheck skrev:

Alltså är integrationsgränserna alltid så att det lägsta x värdet står längst ner?

Nej, så måste det inte vara. Men på gymnasienivå så gissar jag att det alltid är så.

På 20a) varför har man inte integrationsgränserna åt andra hållet?

Det skulle man kunna ha, men nu vill de at du beräknar integralens värde så som den är skriven.

(Och det som står längst ner är ju det lägsta x-värdet även i denna integral.)

========

Jag tycker att du även ska beräkna integralernas värden om du byter plats på integrationsgränserna, det kan ge en aha-upplevelse.

Jag får samma svar men positiv

Om man vänder på integrationsgränserna så har man kommit överens om att det betyder att man byter tecken på integralens värde. Därför är det förstås viktigt att man har integrationsgränserna i rätt ordning.

OK bra. Gör samma sak med den första uppgiften.

Kan du komma på vad det beror på?

Så om man ska beräkna arean i en uppgift mellan två gränser men har råkat lägga dem åt fel håll så kan man bara byta tecken till positiv så får man rätt area?

Yngve - För att man räknar då med den mindre arean först, för att den är närmare x-axeln och så subtraherar man det med en större area. Jag förstår inte. 

Ja, förutsatt att funktionen som ska integreras (kallas integranden) är positiv. Är integranden negativ ska också ”arean” räknas negativ. Därav regeln ifråga. På gymnasiet integrerar man bara utefter R. Därför ”gissar” Yngve alldeles rätt här innan. På universitetsnivå integrerar man också på t ex ytor och då funkar det inte alltid att bara ha två tal som integrationsgränser. Då måste man beskriva ytan matematiskt och kalla den för D t ex som man då skriver under integraltecknet. Även helt abstrakta integrationsområden förekommer.

naturarecheck skrev:

Yngve - För att man räknar då med den mindre arean först, för att den är närmare x-axeln och så subtraherar man det med en större area. Jag förstår inte. 

Jag tänker så här.

Om $F(x)$ är en primitiv funktion till $f(x)$ så gäller som du vet att

$I_1=\int_{a}^{b}f(x)\operatorname dx=F(b)-F(a)$, dvs $I_1=F(b)-F(a)$

Om vi nu byter plats på integrationsgränserna så får vi

$I_2=\int_{b}^{a}f(x)\operatorname dx=F(a)-F(b)$, dvs $I_2=F(a)-F(b)$

Men eftersom $F(a)-F(b)=-(F(b)-F(a))$ så måste det ju gälla att $I_2=-I_1$

=============

Dvs om du byter plats på integrationsgränserna så byter du även tecken på integralens värde.

Hängde du med på det?

Ja...tack för din hjälp. Jag får påriktigt ångest av detta. Jag trodde jag kunde detta men nu förstår jag typ inget :(

naturarecheck skrev:

Ja...tack för din hjälp. Jag får påriktigt ångest av detta. Jag trodde jag kunde detta men nu förstår jag typ inget :(

Ta det lugnt. Som sagt, eftersom det på gymnasienivå knappast förekommer integraler med "ombytta gränser" så är detta inget du behöver lära dig eller kunna.

Det är däremot viktigt att du vet hur man beräknar en integral och hur integralberäknong förhåller sig till areaberäkning, vilket jag återkommer till inom kort.

Nu är det inom kort 😀

Det här behöver du kunna: Säg att du vill beräkna arean $A$ av det område som begränsas av grafen till $f(x)$, $x$-axeln och de två horisontella linjerna $x=a$ och $x=b$, där $a<>$.

Då gäller följande:

• Om $f(x)$ ligger ovanför x-axeln i hela intervallet så är $A=\int_{a}^{b}f(x)\operatorname dx$
• Om $f(x)$ ligger under x-axeln i hela intervallet så är $A=\int_{a}^{b}-f(x)\operatorname dx$

En generalisering och utökning av detta är att kunna beräkna arean mellan två funktionsgrafer. Men det kan vi ta vid ett senare tillfälle om du känner för det. Hojta i såfall till så tar vi även det.

Yes, tack så jättemycket! Det uppskattas!