Integraler

Hej!

Ska man vara litet ordentlig så är arean lika med integralen av funktionens absolutbelopp

    $\text{Area} = \int |g(x)|\,\text{d}x\ .$

Om funktionen alltid är positiv så är absolutbeloppet $|g|$ samma sak som $g$ och då blir area och integral samma sak.

    $\text{Area} = \int g(x)\,\text{d}x \ .$

Albiki

Du kan helt enkelt tänka att när du ska beräkna arean av ett området så beräknar du områdets storlek. Storleken på ett område kan aldrig vara negativt - alltså kommer arean alltid vara positiv. Varje gång du integrerar och beräknar värdet av en integral så kan värdet antingen bli positivt eller negativt. Om du i uppgiften fått reda på att du ska beräkna arean av området och din kurva ligger under x-axeln så sätter du alltid ett minus tecken framför integralen - för att arean ska bli positiv. 

 $$\begin{gathered} A={\int }_a^{b}f\left(x\right)dx om f\left(x\right)\ge 0 för a\le x\le b \\ A=-{\int }_a^{b}f\left(x\right)dx om f\left(x\right)\le 0 för a\le x\le b \end{gathered}$$

Och ja integralen kan både ha ett negativt och positivt värde, men som sagt aldrig arean - den är alltid positiv. 

Hej.

Om du vill slippa kom-i-håg regler och absolutbelopp kan du använda följande metod:

En area mellan två kurvor f(x) och g(x) kan alltid beräknas som integralen av den "övre" funktionen minus den "undre" funktionen.

I det fallet att det endast finns en funktion f(x) så är den andra funktionen g(x) = 0, dvs g(x) är x-axeln.

• Om nu f(x) ligger ovanför x-axeln så ligger f(x) ovanför g(x) och integranden blir därför f(x) - g(x). Eftersom g(x) är lika med 0 så blir integranden f(x) - 0 = f(x).
• Om f(x) däremot ligger under x-axeln så ligger f(x) under g(x) och integranden blir därför g(x) - f(x). Eftersom g(x) är lika med 0 så blir integranden 0 - f(x) = -f(x).
• Om f(x) ligger ovanför x-axeln i ett intervall och under x-axeln i ett annat intervall kan du dela upp integralen i flera delar och använda de ovanstående punkterna på respektive del.

Detta ger samma resultat som tipsen från både Albiki och Mathkhin men metoden är mer generell och användbar även i de fall att du har två funktioner och ska beräkna arean mellan dem.

Mindre att lära sig och komma ihåg - Check!