Integraler

Integralen ser bedrägligt enkel ut men är i själva verket en som man behöver ett trick för att lösa. Det jag tror du kan göra här, med tanke på att det är en olikhet du är given, är att se om du kan hitta någon integrand som är större än den givna, och som har värdet 6 eller mindre. Beakta det faktum att andra termen i integraden är mindre än 1 på hela intervallet (förutom undre ändpunkten), och att integralen för en konstant integrand med värdet 2 på hela intervallet är exakt 6.

Integralen har ungefärliga värdet 3.89, eller det exakta värdet $3+\frac{\sqrt{\mathrm{\pi }}}{2}erf\left(3\right)$ där erf(x) är det som kallas error function på engelska (troligen "felfunktion" på svenska, men jag hittar ingen svenkspråkig wikipedia artikel för den). Notera att definitionen av felfunktionen är praktiskt taget din integral; det diffar bara på faktorn som multiplicerar den. Lägg också märke till att det inte går att hitta någon lösning för den integralen på sluten form utan alla sätt att beräkna den tycks använda någon serieutveckling. Specialfallet där övre gränsen (3 i ditt fall) flyttas till oändligheten ger ett enkelt värde då felfunktionen där blir 1.

Det kluriga är hur man behandlar $e^{-x^2}$. Hur får man fram $\frac{\sqrt{\mathrm{\pi }}}{2}erf\left(3\right)$? 

Du ska behandla den genom att notera att den för alla x utom 0 är mindre än 1. Alltså blir integralen av den över något intervall mindre än 1 gånger intervallets storlek.

Lessen om jag ledde dig ut på tunn is. Du ska notera att integranden $1+e^{-x^2}\hspace{0.17em}\le 2$ eftersom $e^{-x^2}\hspace{0.17em}\le 1$ överallt, men speciellt på intervallet [0,3] och att ${\int }_0^{3}2dx=6$ är större än den sökta integralen. Det var ungefär vad jag sa i det första stycket innan det började komma krumelurer.

Uttrycket du integrerar (integranden) är den blå linjen, och ytan som integralen representerar är den streckade gröna. Du ser att en rektangel som är 2 hög (touchar blå linjen vid x=0) och 3 bred (mellan 0 och 3) har en störren yta än det gröna fältet. Den integralen (2*3) är exakt 6.