Integraler och bevis. Hur ska jag gå tillväga?

Många frågor. Ta bara en fråga per tråd så blir det inte rörigt.

5a är enkel.

På [0,π/4] är

-- Integranden positiv

-- tan(x)≤1

varför 0 ≤ I ≤ π/4

b) är svårare. Kanske det finns något knep som jag missat, men annars är det räkningar rakt fram;

https://mathb.in/80585

Eftersom $0 \le \tan x \le 1$ för $0 \le x \le \frac{\pi}{4}$, så gäller att $0 \le \tan^5 x \le \tan x$ på hela integrationsintervallet.

Därmed kan man göra följande (ganska grov) uppskattning:

$\displaystyle \int_0^{\pi/4} \tan^5 x\,dx \le \int_0^{\pi/4} \tan x\,dx = \cdots = \frac{\ln 2}{2}$

f(x)=1/(1+sin^2(x))

f'(x) = -sin(2x)/(1+sin^2(x))^2 <0 på [0,1]

f(x) avt. från f(0)=1 till f(1) = 1/(1+sin^2(1))

1/(1+sin^2(1)) ≤ f ≤ 1 på[0,1]

a) följer nu.

På [0,1]: sin(x)<x <=> 1/(1+x^2) < 1/(1+sin^2(x))

Integrering av olikhet ger b)