Integraler - variabel substitution

Hej!

Jag har kört fast lite vid integraler, specifikt en uppgift:

$\int \sin x \cos x dx$

Jag ska använda mig av variabel substitution enligt uppgiften för att lösa detta. 

Jag satte att u = sin x och att u' = cos x vilket ger mig:

$\int u\text{'}\times u dx = \int u du = \int \sin x du$

Sen tänker jag att svaret då kommer bli den primitiva funktionen av sin x vilket blir:  - cos x + C.

Men, enligt facit är det $\frac{{(\sin x)}^2}{2}+ C$

Så det har blivit fel någonstans... Någon som kan förklara det på något bra sätt?

Tack på förhand!