Integralproblem, konstant

Innan jag skriver ut hela lösningvägen jag tagit för uppgiften tänker jag undersöka ett resonemang jag har angående svaret, då det bara skiljer en term mot facit.

Upg: $\int \frac{2x-3}{x^2+4x+13}$

Mitt svar: $\ln \left({\left(\frac{x+2}{3}\right)}^2+1\right)-\frac{7}{3}arc\tan \left(\frac{x+2}{3}\right)+C$

Facit: $\ln \left(x^2+4x+13\right)-\frac{7}{3}arc\tan \left(\frac{x+2}{3}\right)+C$

Det som skiljer svaren åt är då ln-termen. Jag tror att facit kanske har utgått ifrån samma svar för att sedan förenkla det genom

$$\begin{gathered} \ln \left({\left(\frac{x+2}{3}\right)}^2+1\right)-\frac{7}{3}arc\tan \left(\frac{x+2}{3}\right)+C= \\ \ln \left(\left(\frac{x^2+4x+4+9}{9}\right)\right)-\frac{7}{3}arc\tan \left(\frac{x+2}{3}\right)+C= \\ \ln \left(\left(\frac{x^2+4x+13}{9}\right)\right)-\frac{7}{3}arc\tan \left(\frac{x+2}{3}\right)+C = \\ \ln \left(\left(x^2+4x+13\right)\right)-\ln \left(9\right)-\frac{7}{3}arc\tan \left(\frac{x+2}{3}\right)+C = \\ \ln \left(\left(x^2+4x+13\right)\right)-\frac{7}{3}arc\tan \left(\frac{x+2}{3}\right)+K \end{gathered}$$

Där den sista konstanten K = C - ln(9).

Verkar det som ett rimligt antagande? Annars behöver jag nog hjälp med att hitta fel i själv uträkningen.