Integration av rationella funktioner

Sabotskij83 skrev:

Integrationen ser ut så här: ${\int }_1^2\frac{x^4+3}{x}dx$. Så jag skriver den som:${\int }_1^2\left(x^3+3·\frac{1}{x}\right)dx$.sd

Ja. Har du någon fråga?

Yngve skrev:

Sabotskij83 skrev:

Integrationen ser ut så här: ${\int }_1^2\frac{x^4+3}{x}dx$. Så jag skriver den som:${\int }_1^2\left(x^3+3·\frac{1}{x}\right)dx$.sd

Ja. Har du någon fråga?

Förlåt, tangentbordet tjärvade och jag lyckades posta innan jag skrivit klart.

Sabotskij83 skrev:

Integrationen ser ut så här: ${\int }_1^2\frac{x^4+3}{x}dx$. Så jag skriver den som:${\int }_1^2\left(x^3+3·\frac{1}{x}\right)dx$. Efter uträkning får jag svaret 6ln 2 + 15/4

I facit har dem dock valt att inte plocka ut 3an ur 3/x innan den primitiva funktionen tas fram, och får således fram svaret 3ln 2 + 15/4.

Av vilken anledning gör man inte det? 

Om F(x) är en primitiv funktion till f(x) så är a*F(x) en primitiv funktion till a*f(x).

Kan du visa din uträkning?

Yngve skrev:

Sabotskij83 skrev:

Integrationen ser ut så här: ${\int }_1^2\frac{x^4+3}{x}dx$. Så jag skriver den som:${\int }_1^2\left(x^3+3·\frac{1}{x}\right)dx$. Efter uträkning får jag svaret 6ln 2 + 15/4

I facit har dem dock valt att inte plocka ut 3an ur 3/x innan den primitiva funktionen tas fram, och får således fram svaret 3ln 2 + 15/4.

Av vilken anledning gör man inte det? 

Om F(x) är en primitiv funktion till f(x) så är a*F(x) en primitiv funktion till a*f(x).

Kan du visa din uträkning?

Absolut. $$\begin{gathered} {\int }_1^2\frac{x^4+3}{x}dx={\int }_1^2\left(x^3+3·\frac{1}{x}\right)dx=\left[\frac{x^4}{4}+3x·\ln \left|x\right|\right]=\left(\frac{2^4}{4}+3·2·\ln \left|2\right|\right)-\left(\frac{1^4}{4}+3·1·\ln \left|1\right|\right)= \\ =4+6·\ln 2-\left(\frac{1}{4}+3·0\right)=6\ln 2+\frac{15}{4} \end{gathered}$$

Edit: Jag tror jag ser felet där nu. ${\int }_1^2\left(x^3+3·\frac{1}{x}dx\right)=3{\int }_1^2\left(x^3+\frac{1}{x}\right)dx$. Tänker jag rätt då?

Primitiva funktionen för 1/x är inte xlnx.

Sabotskij83 skrev:

Yngve skrev:

Visa föregående citat

Sabotskij83 skrev:

Integrationen ser ut så här: ${\int }_1^2\frac{x^4+3}{x}dx$. Så jag skriver den som:${\int }_1^2\left(x^3+3·\frac{1}{x}\right)dx$. Efter uträkning får jag svaret 6ln 2 + 15/4

I facit har dem dock valt att inte plocka ut 3an ur 3/x innan den primitiva funktionen tas fram, och får således fram svaret 3ln 2 + 15/4.

Av vilken anledning gör man inte det? 

Om F(x) är en primitiv funktion till f(x) så är a*F(x) en primitiv funktion till a*f(x).

Kan du visa din uträkning?

Absolut. $$\begin{gathered} {\int }_1^2\frac{x^4+3}{x}dx={\int }_1^2\left(x^3+3·\frac{1}{x}\right)dx=\left[\frac{x^4}{4}+3x·\ln \left|x\right|\right]=\left(\frac{2^4}{4}+3·2·\ln \left|2\right|\right)-\left(\frac{1^4}{4}+3·1·\ln \left|1\right|\right)= \\ =4+6·\ln 2-\left(\frac{1}{4}+3·0\right)=6\ln 2+\frac{15}{4} \end{gathered}$$

Aha.

Du har fel primitiv funktion till 3*(1/x).

Exempel: En primitiv funktion till 4*x^2 är 4*x^3/3, inte 4x*x^3/3.

Läs mitt förra svar igen.

Yngve skrev:

Sabotskij83 skrev:

Visa föregående citat

Yngve skrev:

Sabotskij83 skrev:

Integrationen ser ut så här: ${\int }_1^2\frac{x^4+3}{x}dx$. Så jag skriver den som:${\int }_1^2\left(x^3+3·\frac{1}{x}\right)dx$. Efter uträkning får jag svaret 6ln 2 + 15/4

I facit har dem dock valt att inte plocka ut 3an ur 3/x innan den primitiva funktionen tas fram, och får således fram svaret 3ln 2 + 15/4.

Av vilken anledning gör man inte det? 

Om F(x) är en primitiv funktion till f(x) så är a*F(x) en primitiv funktion till a*f(x).

Kan du visa din uträkning?

Absolut. $$\begin{gathered} {\int }_1^2\frac{x^4+3}{x}dx={\int }_1^2\left(x^3+3·\frac{1}{x}\right)dx=\left[\frac{x^4}{4}+3x·\ln \left|x\right|\right]=\left(\frac{2^4}{4}+3·2·\ln \left|2\right|\right)-\left(\frac{1^4}{4}+3·1·\ln \left|1\right|\right)= \\ =4+6·\ln 2-\left(\frac{1}{4}+3·0\right)=6\ln 2+\frac{15}{4} \end{gathered}$$

Aha.

Du har fel primitiv funktion till 3*(1/x).

Exempel: En primitiv funktion till 4*x^2 är 4*x^3/3, inte 4x*x^3/3.

Läs mitt förra svar igen.

Jag editerade svaret då jag misstänkte något sådant medan jag skrev uträkningen igen där. Rätt sätt blir då:${\int }_1^2{x}^{3}dx+3{\int }_1^2\frac{1}{x}dx$? Det ser mer rätt ut.