Integration av rotuttryck

Bestäm primitiven av $\int \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1}} d x$ genom variabelbytet $t - x = \sqrt{x^{2} + 1} \frac{d x}{d t} = \frac{t^{2} + 1}{2 t^{2}}$ .

Jag har substituerat så att jag får $\int \frac{1}{t - x} \frac{t^{2} + 1}{2 t^{2}} d t$ .

Jag kommer inte vidare från detta steget.

Rotuttryck på denna form måste angripas med inverserna till de trigonometriska och hyperboliska funktionerna och man kan inte substituera dem till polynomuttryck på detta vis.

yeah dx/dt grejen ser lite knasig ut $t = \sqrt{x^{2} + 1} + x \frac{d t}{d x} = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} + 1 = \frac{x + \sqrt{x^{2} + 1}}{\sqrt{x^{2} + 1}} d x = d t (\frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{x + \sqrt{x^{2} + 1}})$ ifall vi nu sätter in detta i integralen får vi

$\int \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1}} \cdot \frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{x + \sqrt{x^{2} + 1}} d t = \int \frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{(\sqrt{x^{2} + 1}) (x + \sqrt{x^{2} + 1})} d t = \int \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1} + x} d t = \int \frac{1}{t} d t = \ln (t)$

alltså har vi svaret $\ln (\sqrt{x^{2} + 1} + x)$ +C (kanske skulle sätta absolut bellopet i ln)

Substitueringen innebär en approximation av integralen som är bra för små x. Uppgiften i sig var antagligen att utföra substitueringen, inte att frågeställaren hade kommit på den själv.

Svara Avbryt

Visa senaste svar