Integration med variabelsubstitution

Hej!

Nu är det inte bara att jag förstår inte vad jag gör fel, men jag förstår inte lösningen heller!

${\int }_0^{{\mathrm{\pi }}^2}\sin \sqrt{x}dx \to \left[\begin{array}{c}x=t^2\\ dx=2t dt\end{array}\right] \to {\int }_0^{\mathrm{\pi }}\sin t·2t dt$

Nu kör vi partielintegration med $f\left(t\right)=\sin t, g\left(t\right)=2t$

$$\begin{gathered} {\int }_0^{\mathrm{\pi }}\sin t·2t dt = {\left[-\cos t·2t\right]}_0^{\mathrm{\pi }}-{\int }_0^{\mathrm{\pi }}\cos t·2 dt={\left[-\cos t·2t\right]}_0^{\mathrm{\pi }}-2{\int }_0^{\mathrm{\pi }}\cos t dt \\ = {\left[-\cos t·2t\right]}_0^{\mathrm{\pi }}-2 {\left[\sin t\right]}_0^{\mathrm{\pi }}dt= \\ -\cos \left(\mathrm{\pi }\right)2\mathrm{\pi }-\left(-\cos \left(0\right)\right)2·0-\mathit{(}\mathit{2}\mathit{ }och\mathit{ }inget\mathit{ }att\mathit{ }bry\mathit{ }sig\mathit{ }om\mathit{ }eftersom\mathit{ }sin\mathit{(}\mathit{0}\mathit{)}\mathit{ }och\mathit{ }sin\mathit{(}\pi \mathit{)}\mathit{=}\mathit{0}\mathit{)} \end{gathered}$$

Dvs svar $2\pi$

Rätt svar: $2$