Integrationsgränser för dubbelintegral

Integrationsgränserna är från 0 minuter till 24 minuter. Din bild föreställer något annat, förmodligen har du väntetiden på morgonen på ena axeln och väntetiden på eftermiddagen på den andra. Diagonalen från (0,12) till (12,0) är alla de möjligheter som gör att summan är 12 minuter.

Okej, i facit står det att jag ska integrera från t-12 till 12 och t-x till 12.

Det går lika bra, om man väljer sina variabler annorlunda än jag gjorde. I vilket fall som helst blir det en likbent triangel med arean 1.

Okej, jag förstår dock inte, jag kan inte det riktigt. Tycker det är väldigt svårt. Kan man visualisera det på något vis?

Det enklaste är att bara skriva upp vad du ska beräkna för att hitta integrationsgränserna. Kalla de två väntetiderna X och Y. P(X+Y<t)=P(Y<t-X). Vi ska alltså räkna ut hur stor sannolikhet det är att y koordinaten ligger under linjen t-x(detta kan du rita) med det ytterliggare villkoret att båda x och y ligger mellan 0 och 12. (Skriver på mobilen så det blev sträng olikhet överallt. Det spelar dock ingen roll eftersom det är en kontinuerlig fördelning.)

Det är störst sannolikhet att väntetiden blir 12 minuter - på samma sätt som det blir störst sannolikhet att summan blir 7 om man kastar två vanliga tärningar. Sannolikheten att du behöver vänta 24 minuter (d v s att du precis missat bussen 2 ggr) är lika stor som sannolikheten att bussen kommer direkt båda gångerna. Sannolikheten att du behöver vänta 6 minuter totalt är lika stor som sannolikheten att du behöver vänta 24-6=18 minuter. Allt detta beror på att den ursprungliga väntetiden är likformigt fördelad. Är du med på detta?

parveln skrev:

Det enklaste är att bara skriva upp vad du ska beräkna för att hitta integrationsgränserna. Kalla de två väntetiderna X och Y. P(X+Y<t)=P(Y<t-X). Vi ska alltså räkna ut hur stor sannolikhet det är att y koordinaten ligger under linjen t-x(detta kan du rita) med det ytterliggare villkoret att båda x och y ligger mellan 0 och 12. (Skriver på mobilen så det blev sträng olikhet överallt. Det spelar dock ingen roll eftersom det är en kontinuerlig fördelning.)

Okej, då blev det åtminstone lite klarare!

Smaragdalena skrev:

Det är störst sannolikhet att väntetiden blir 12 minuter - på samma sätt som det blir störst sannolikhet att summan blir 7 om man kastar två vanliga tärningar. Sannolikheten att du behöver vänta 24 minuter (d v s att du precis missat bussen 2 ggr) är lika stor som sannolikheten att bussen kommer direkt båda gångerna. Sannolikheten att du behöver vänta 6 minuter totalt är lika stor som sannolikheten att du behöver vänta 24-6=18 minuter. Allt detta beror på att den ursprungliga väntetiden är likformigt fördelad. Är du med på detta?

Ja, jag tror det. $E(X+Y) =\hspace{0.17em}\frac{0+12}{2} + \frac{0+12}{2} = 12$ blir ju den förväntade väntetiden för båda, dvs 6+6.

Fibonacci skrev:

parveln skrev:

Det enklaste är att bara skriva upp vad du ska beräkna för att hitta integrationsgränserna. Kalla de två väntetiderna X och Y. P(X+Y<t)=P(Y<t-X). Vi ska alltså räkna ut hur stor sannolikhet det är att y koordinaten ligger under linjen t-x(detta kan du rita) med det ytterliggare villkoret att båda x och y ligger mellan 0 och 12. (Skriver på mobilen så det blev sträng olikhet överallt. Det spelar dock ingen roll eftersom det är en kontinuerlig fördelning.)

Okej, då blev det åtminstone lite klarare!

Notera att täthetsfunktionen för den gemensamma fördelningen fås genom att multiplicera marginalfördelningarna eftersom X och Y antas oberoende. Det är den gemensamma täthetsfunktionen du ska integrera.