Integrationsteori

Börja med att dela upp integranden till en summa av två termer. Då kan den delas upp till en summa av två integraler med samma gränser. Den ena av dessa integraler har värdet 0 av symmetriskäl, så gränsvärdet är detsamma som gränsvärdet av den andra integralen. De skriver om integralen så att man kan integrera över alla reella tal istället - i alla fall tror jag att det är det som högra delen av den sista integralen betyder.

De Borel-mätbara funktionerna $f_n(x) = (1-x^2/n)^{n}1_{[-\sqrt{n},\sqrt{n}]}(x)$ där $x\in\mathbb{R}$ konvergerar punktvis mot den Borel-mätbara funktionen $f(t) =e^{-t^2}$ där $t\in\mathbb{R}$ och är uppåt begränsade av den integrerbara funktionen $g(x) = (1-x^2/16)^{16}1_{[-4,4]}(x)$ då $n\geq 16$. Enligt Dominerade konvergenssatsen gäller det att

    $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\int_{\mathbb{R}}f_n(x)\,dx = \int_{\mathbb{R}}f(t)\,dt = \sqrt{\pi}.$