Integrera med deltafunktion

I allmänhet gäller det att:

${\int }_0^{\infty }f\left(x\right)\delta \left(x\right)dx = {\int }_{-\infty }^{\infty } f\left(x\right)\delta \left(x\right)dx$

jaha okej tack. Så då kan jag räkna integralen med gränserna ${\int }_{-\infty }^{\infty }r\delta \left(r\right)\sin \left(qr\right)dr$ ?

Hej,

När jag tänker efter så har jag även vid något tillfälle stött på definitionen:

${\int }_0^{\infty }f\left(x\right)\delta \left(x\right)dx = \frac{f\left(0\right)}{2}$

Det har att göra med att man kan betrakta Dirac-pulsen som gränsvärdet av en jämn funktion $v_n\left(x\right)$, vilket skulle ge:

$f\left(0\right) ={\int }_{-\infty }^{\infty }f\left(x\right)\delta \left(x\right)dx = \underset{n\to \infty }{\lim }{\int }_{-\infty }^{\infty }f\left(x\right)v_n\left(x\right)dx = \underset{n\to \infty }{\lim }2{\int }_0^{\infty }f\left(x\right)v_n\left(x\right)dx = 2{\int }_0^{\infty }f\left(x\right)\delta \left(x\right)dx$

Det samband jag gav ovan i inlägget bygger på någon slags generalisering tror jag, där man definierar

${\int }_{S}f\left(x\right)\delta \left(x\right)dx = \left\{\begin{array}{l}f\left(0\right) om 0\in S\\ 0 annars\end{array}\right.$

Min poäng är att Dirac delta-funktionen verkar vara någonting knepigt i grund och botten och det kan vara värt att kolla upp exakt hur ni definierar saker och ting i kursen.

Ett ytterligare klargörande är att jag i båda fallen antar jag att vi integrerar över intervallet [0,∞) och inte över (0,∞) vilket skulle innebära att integralen är noll. Så om detta på något vis framgår av uppgiften så är det värt att ta hänsyn till.

Edit: Usch, vad jag sabbade till det med tecknen innanför integralerna. Hoppas det går att läsa...

Du måste göra ett koordinatbyte av något slag, du får inte använda dig av diracs deltafunktion i en ändpunkt precis som du säger eftersom den måste integreras över ett område. Deltafunktionen är egentligen ingen funktion, det är en distribution. Testa gör ett byte till kartesiska koordinater och utför integralen där.

H-lena skrev :

jaha okej tack. Så då kan jag räkna integralen med gränserna ${\int }_{-\infty }^{\infty }r\delta \left(r\right)\sin \left(qr\right)dr$ ?

 Nej så kan du inte göra.

EDIT: Jag tänkte på det lite till, det finns tillfällen då du kan utvidga intervallet och dela med två och sedan göra på det där viset men det fungerar inte allmänt. Det beror helt på vilket problem du försöker lösa.

Tack för svar. Jag känner mig lite förvirrad över den här integralen just nu måste jag säga. I kartesiska koordinater ser den ut såhär:

${\int }_{-\infty }^{\infty }\delta (x-r)e^{iqx}{d}^{3}x$ med lite konstanter framför. Det är en Born approximation av första ordningen om det säger nånting. Det ges inga gränser i uppgiften så därför antar jag att det är från - oändligheten till +oändligheten. 

Jobbar du alltså i sfäriska koordinater från början? Är det en spridning mot en Dirac potential som ligger i origo i sfäriska koordinater? 

Det är en spridning mot en dirac potential antar jag den ser ut på följande vis

$V\left(r\right)=\alpha \delta \left(r\right), \alpha >0$ det är allt som ges i uppgiften, man ska hitta scattering cross section, så jag använde Born-approx. första ordningen med ekvationen och tänkte använda absolutbeloppet av kvadraten f(k,k') efter att jag räknat ut den. 

$f(k,k\text{'})=\frac{-m}{2\pi h}\int d^{3}x\text{'}V(x\text{'})ei(k-k\text{'})x\text{'}$ där k-k'=q (Det ska stå h streck i kvadrat inte h)

Jag vet inte hur jag ska lösa den integralen med den lilla information jag har, därför ville jag skriva om den med sfäriska koordinater som man kan göra enligt

$f\left(\theta \right)=\frac{-m}{2\pi h^{2}q}{\int }_0^{\infty }rV\left(r\right)\sin \left(qr\right)dr$ (h=h streck)

men det gick ju inte så lätt som jag trodde. 

emmynoether skrev :

Du måste göra ett koordinatbyte av något slag, du får inte använda dig av diracs deltafunktion i en ändpunkt precis som du säger eftersom den måste integreras över ett område. Deltafunktionen är egentligen ingen funktion, det är en distribution. Testa gör ett byte till kartesiska koordinater och utför integralen där.

Man kan inte i allmänhet resonera som så att:

${\int }_{-\infty }^{\infty }f\left(x\right)\delta \left(x\right)dx = {\int }_A^{}f\left(x\right)\delta \left(x\right)dx + {\int }_B^{}f\left(x\right)\delta \left(x\right)dx$

Där A = (-∞,0) och B = [0,∞) och utnyttja att integralen över A är noll?

Freewheeling skrev :

emmynoether skrev :

Du måste göra ett koordinatbyte av något slag, du får inte använda dig av diracs deltafunktion i en ändpunkt precis som du säger eftersom den måste integreras över ett område. Deltafunktionen är egentligen ingen funktion, det är en distribution. Testa gör ett byte till kartesiska koordinater och utför integralen där.

Man kan inte i allmänhet resonera som så att:

${\int }_{-\infty }^{\infty }f\left(x\right)\delta \left(x\right)dx = {\int }_A^{}f\left(x\right)\delta \left(x\right)dx + {\int }_B^{}f\left(x\right)\delta \left(x\right)dx$

Där A = (-∞,0) och B = [0,∞) och utnyttja att integralen över A är noll?

 Nej så funkar det inte. Problemet är att deltafunktionen är en distribution som agerar på funktioner med kompakt stöd, det funkar alltså inte att bara slänga ut den på en ändpunkt för en ändpunkt har inte kompakt stöd. Det jag själv brukar göra är att skriva om integralen på koordinatoberoende form och sedan gå över till kartesiska koordinater där deltafunktionen har kompat stöd. När jag försöker göra det för det här problemet får jag dock bara noll som svar hela tiden. Jag ska kika lite på det igen sen och återkommer om jag hittar någon lösning.

Tack, emmynoether.

Jag fick tipset att integrera över kartesiska koordinater och evaluera i 0 för att då får man ut allt förutom deltafunktionen (antar att den är 1 i punkten 0). Jag kom inte direkt någon vart med den ledtråden ändå dock. 

Hej!

Jag har förstått frågan såhär. Du vill bestämma spridningstvärsnittet $f(\mathbf{k},\mathbf{k}')$ där $\mathbf{k}$ och $\mathbf{k}'$ är två vågvektorer i rummet $\mathbb{R}^3.$ Detta är ett tal som bestäms av följande integral.

    $\displaystyle f(\mathbf{k},\mathbf{k}') = -\frac{m}{2\pi \hbar}\iiint_{\mathbb{R}^3}V(\mathbf{x})e^{i(\mathbf{k}-\mathbf{k}')\cdot\mathbf{x}}\,d\mathbf{x}$.

Albiki

Hej!

Potentialen $V$ ges av en Dirac-deltafunktion i origo.

    $\displaystyle V(\mathbf{x})=\alpha\delta(\mathbf{x}-\mathbf{0})$,

där $\alpha$ är ett negativt tal.

Albiki

Hej!

Med en sådan potential blir spridningstvärsnittet följande integral.

    $\displaystyle f(\mathbf{k},\mathbf{k}')=\frac{m|\alpha|}{2\pi\hbar}\iiint_{\mathbb{R}^3}\delta(\mathbf{x}-\mathbf{0})e^{i(\mathbf{k}-\mathbf{k}')\cdot \mathbf{x}}\,d\mathbf{x} = \frac{m|\alpha|}{2\pi\hbar}e^{i(\mathbf{k}-\mathbf{k}')\cdot \mathbf{0}} = \frac{m|\alpha|}{2\pi\hbar}\ .$

Albiki

Hej!

Med en sådan potential blir alltså spridningstvärsnittet konstant för alla vågvektorer.

Vad betyder detta i ett kvantmekaniskt sammanhang?

Albiki

Hej!

Förutsatt att jag har förstått frågan rätt, förstås.

Albiki

Ja det stämmer att det är den integralen men jag vet inte hur jag ska räkna ut den vilket är uppgiften. Jag vet inte hur gränserna ska bli eller hur jag ska göra med deltafunktionen.

Hej!

Om du tar en titt på ett av mina inlägg så ser du hur jag beräknande integralen när jag satte in deltafunktionen.

Albiki

Oj förlåt jag såg inte. Det var sådär jag räknade ut den först men var inte säker på om jag hade gjort rätt!

H-lena och Albiki, någonstans på vägen slarvar ni bort en kvadrering av $\hbar$ vilket stör mig.

Första ordningens Bornapprox ges ju av

$f^{(1)}(\mathbf{k}',\mathbf{k})=-\frac{1}{4\pi}\frac{2m}{\hbar^2}\int d^3 x' e^{i(\mathbf {k}-\mathbf{k'})\cdot\mathbf{x}'}V(\mathbf{x}')$

Vilket formellt sett bara är en Fouriertransformation av potentialen V m a p q=$\mathbf{k}-\mathbf{k}'$ (med konstanten $-\frac{1}{4\pi}\frac{2m}{\hbar^2}$ framför)

Albiki skrev :

Hej!

Med en sådan potential blir spridningstvärsnittet följande integral.

    $\displaystyle f(\mathbf{k},\mathbf{k}')=\frac{m|\alpha|}{2\pi\hbar}\iiint_{\mathbb{R}^3}\delta(\mathbf{x}-\mathbf{0})e^{i(\mathbf{k}-\mathbf{k}')\cdot \mathbf{x}}\,d\mathbf{x} = \frac{m|\alpha|}{2\pi\hbar}e^{i(\mathbf{k}-\mathbf{k}')\cdot \mathbf{0}} = \frac{m|\alpha|}{2\pi\hbar}\ .$

Albiki

 Jag har rådfrågat runt lite bland vänenr och sen satt jag mig ner och räknade och jag fick precis samma idag när jag tog det från början, dock glömmer du ett minus och $\hbar$ i nämnaren tror jag? I alla fall enlight Griffith's bok. Det H-lena måste missat var att hon inte tog med skalfaktorerna  för deltafunktionen när hon gick över till sfäriska koordinater. 

För vi får då

$f(\theta)= \frac{-2 m}{ \hbar^2 q } \int_0^\infty \frac{a \delta(r)}{4 \pi r^2} r \sin(q r) dr = \frac{-m a}{ 2 \pi \hbar^2} \int_0^\infty \delta(r) \frac{\sin(q r)}{q r} dr = \frac{-ma}{2 \pi \hbar^2}$

Här ser vi alltså att det funkar att sätta deltafunktion vid gränsen även fast det inte rent matematiskt är väldefinierat. En matematiker skulle skaka på huvudet och säga att det inte är helt korrekt men eftersom vi är ute efter fysiska resultat och allt vi pysslar med är kontinuerligt deriverbart tillräckligt många gånger kommer vi ändå undan i många fall. Nu har vi i alla fall visat det här på två sätt.

I sista steget kanske jag ska påpeka att

$\int_0^\infty \delta(r) \frac{\sin(qr)}{qr} dr = \lim_{r \to 0} \frac{\sin(qr)}{qr} =1$

Hej!

Jag reflekterade inte över enheterna, eftersom det var hanteringen av deltafunktionen som var i fokus i denna tråd. Följaktligen blev det en miss med konstanten $\hbar$ istället för $\hbar^2$, något som tydligen är stötande, vilket jag ber om ursäkt för.

Däremot hade jag svårt att förstå vad som menas med ett negativt spridningstvärsnitt, vilket fick mig att sätta potentialen till negativ ($\alpha$ är ett negativt tal); inom fysik är det vanligt att låta potentialer vara negativa. Vad säger Guggle och emmynoether om negativa spridningstvärsnitt? Är det okej, eller är det stötande?

Albiki

Guggle: Tack, ja jag märkte också att ett h streck i uträkningen. 

Tack allihopa för alla svar och all hjälp!

Albiki skrev :

Hej!

Jag reflekterade inte över enheterna, eftersom det var hanteringen av deltafunktionen som var i fokus i denna tråd. Följaktligen blev det en miss med konstanten $\hbar$ istället för $\hbar^2$, något som tydligen är stötande, vilket jag ber om ursäkt för.

Däremot hade jag svårt att förstå vad som menas med ett negativt spridningstvärsnitt, vilket fick mig att sätta potentialen till negativ ($\alpha$ är ett negativt tal); inom fysik är det vanligt att låta potentialer vara negativa. Vad säger Guggle och emmynoether om negativa spridningstvärsnitt? Är det okej, eller är det stötande?

Albiki

 Generellt i spridningsteorin så skriver man, för en inkommande plan våg i z-led, att 

$\psi(r,\theta) = A ( e^{ikz} + f(\theta) \frac{e^{ikr}}{r})$

för stora $r$. $f(\theta)$ är ju spridningsamplituden, jag tror inte att det innebär problem att den är negativa för sannolikheten ges ju alltid av beloppet i kvadrat, och när man normerar så kan man ju välja A så att allting blir riktigt ändå? Jag är dock lite osäker, jag har inte gått igenom detta i detalj någon gång faktiskt så jag låter det vara lite osagt. Svaret bör vara rätt ändå för det är ju vad vi får, och jag utgick ifrån uttrycket i Griffith's bok när jag räknade.