Integrera med hänsyn till...?

Ja, det går att derivera funktionen $f(x) = x^2$ med avseende på variabeln $a$; resultatet är den konstanta funktionen noll.

När man studerar flervariabelanalys blir det aktuellt att beräkna partiella derivator som exempelvis $\frac{\partial x^2y^3}{\partial y} = 3x^2y^2.$

Albiki skrev:

Ja, det går att derivera funktionen $f(x) = x^2$ med avseende på variabeln $a$; resultatet är den konstanta funktionen noll.

När man studerar flervariabelanalys blir det aktuellt att beräkna partiella derivator som exempelvis $\frac{\partial x^2y^3}{\partial y} = 3x^2y^2.$

 Intressant.

Men i ditt exempel är det fortfarande med hänsyn till variabeln y ensamt, jag menade går det att derivera med hänsyn till f(y)?

Kan du berätta precis vad det var du skrev in? Det blir lättare för oss att förstå då.

Qetsiyah skrev:

Albiki skrev:

Ja, det går att derivera funktionen $f(x) = x^2$ med avseende på variabeln $a$; resultatet är den konstanta funktionen noll.

När man studerar flervariabelanalys blir det aktuellt att beräkna partiella derivator som exempelvis $\frac{\partial x^2y^3}{\partial y} = 3x^2y^2.$

 Intressant.

Men i ditt exempel är det fortfarande med hänsyn till variabeln y ensamt, jag menade går det att derivera med hänsyn till f(y)?

 Ja, det går att derivera $x^2y^3$ med avseende på $y^3$; den partiella derivatan blir $x^2$.

Albiki skrev:

 Ja, det går att derivera $x^2y^3$ med avseende på $y^3$; den partiella derivatan blir $x^2$.

 Hej!

Vad skulle hända om man ville derivera exempelvis m.a.p $y^4$ i det exemplet?

Moffen skrev:

Albiki skrev:

 Ja, det går att derivera $x^2y^3$ med avseende på $y^3$; den partiella derivatan blir $x^2$.

 Hej!

Vad skulle hända om man ville derivera exempelvis m.a.p $y^4$ i det exemplet?

 Rent spontant så blir det väl $\frac{d1}{dy}$ vilket är lika med 0 haha.

Men Albiki vad är $\frac{d{x}^2{y}^3}{d\sin \left(y\right)}$ om jag får lov att välja något så konstigt att derivera med?

Moffen skrev:

Albiki skrev:

 Ja, det går att derivera $x^2y^3$ med avseende på $y^3$; den partiella derivatan blir $x^2$.

 Hej!

Vad skulle hända om man ville derivera exempelvis m.a.p $y^4$ i det exemplet?

 Då skulle du få:

$\dfrac{\partial x^2y^3}{\partial y^4}=\dfrac{\partial x^2(y^4)^{\frac{3}{4}}}{\partial y^4}=\dfrac{3x^2y^{-\frac{1}{4}}}{4}=\dfrac{3x^2}{4\sqrt[4]{y}}$

För krångligare saker (exempelvis att derivera med avseende på sinus) kan kedjeregeln användas:

$\dfrac{df(x)}{dg(x)}=\dfrac{df(x)}{dx}\cdot\dfrac{dx}{dg(x)}=\dfrac{\frac{df(x)}{dx}}{\frac{dg(x)}{dx}}$

AlvinB skrev:

Moffen skrev:

 Hej!

Vad skulle hända om man ville derivera exempelvis m.a.p $y^4$ i det exemplet?

 Då skulle du få:

$\dfrac{\partial x^2y^3}{\partial y^4}=\dfrac{\partial x^2(y^4)^{\frac{3}{4}}}{\partial y^4}=\dfrac{3x^2y^{-\frac{1}{4}}}{4}=\dfrac{3x^2}{4\sqrt[4]{y}}$

För krångligare saker (exempelvis att derivera med avseende på sinus) kan kedjeregeln användas:

$\dfrac{df(x)}{dg(x)}=\dfrac{df(x)}{dx}\cdot\dfrac{dx}{dg(x)}=\dfrac{\frac{df(x)}{dx}}{\frac{dg(x)}{dx}}$

 Tack!

AlvinB skrev:

För krångligare saker (exempelvis att derivera med avseende på sinus) kan kedjeregeln användas:
$\dfrac{df(x)}{dg(x)}=\dfrac{df(x)}{dx}\cdot\dfrac{dx}{dg(x)}=\dfrac{\frac{df(x)}{dx}}{\frac{dg(x)}{dx}}$

Har nu suttit och funderat ett tag på df(x)/dg(x), och vad det kan tänkas innebära i termer av den vanliga (gränsvärdes)definitionen av derivata, men får mest ont i huvudet :-)

Vad betyder det rent konkret att derivera exempelvis $f(x)=x^4$ med avseende på $g(x)=\sin(x)$?

Om vi utgår från följande definition av derivatan:

$\dfrac{dy}{dx}\left(a\right)=\lim_{x\to a}\dfrac{y(x)-y(a)}{x-a}$

d.v.s. att derivatan är gränsvärdet av kvoten mellan skillnaden i $y$ och skillnaden i $x$ kan vi rimligen definiera derivatan med avseende på en funktion som:

$\dfrac{df(x)}{dg(x)}\left(a\right)=\lim_{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}$

Denna definition stämmer överens med det jag skrev med kedjeregeln tidigare. Om vi tar $f(x)=x^4$ och $g(x)=\sin(x)$ får vi med gränsvärdet:

$\dfrac{dx^4}{d\sin(x)}\left(a\right)\lim_{x\to a}\dfrac{x^4-a^4}{\sin(x)-\sin(a)}=\dfrac{4a^3}{\cos(a)}$

(det är enklast att beräkna med l'Hôpitals regel)

Samma sak får vi om vi tillämpar kedjeregeln:

$\dfrac{dx^4}{d\sin(x)}=\dfrac{\frac{dx^4}{dx}}{\frac{d\sin(x)}{dx}}=\dfrac{4x^3}{\cos(x)}$

Jag ser nu att jag slarvade i mitt tidigare inlägg. Det skall så klart vara:

$\dfrac{\partial x^2y^3}{\partial y^4}=\dfrac{\partial x^2(y^4)^{\frac{3}{4}}}{\partial y^4}=\dfrac{3x^2(y^{\color{red}4})^{-\frac{1}{4}}}{4}=\dfrac{3x^2}{4y}$

Går att göra en rätt snygg omskrivning också:

$\frac{x^4-a^4}{\sin x-\sin a}=$

$\frac{(x^2+a^2)(x^2-a^2)}{\sin x-\sin a}=$

$\frac{(x^2+a^2)(x+a)(x-a)}{\sin x-\sin a}=$

$\frac{(x^2+a^2)(x+a)}{\frac{\sin x-\sin a}{x-a}}$

Jag får känslan av att TS är intresserad av att derivera "vadsomhelst" med avseende på "vadsomhelst", men matematiken är inte riktigt så trivial.

För att "derivatan" av $f(x) = tan(x)$ med avseende på funktionen $g(x)=sin(cos(e^x)))$ ska vara meningsfull måste bland annat funktionen $g:A\to B$ vara bijektiv och man måste tänka på hur definitionsmängder och värdemängder hos $g$ och $f$ hänger ihop. 

AlvinB skrev:

Om vi utgår från följande definition av derivatan:

$\dfrac{dy}{dx}\left(a\right)=\lim_{x\to a}\dfrac{y(x)-y(a)}{x-a}$

d.v.s. att derivatan är gränsvärdet av kvoten mellan skillnaden i $y$ och skillnaden i $x$ kan vi rimligen definiera derivatan med avseende på en funktion som:

$\dfrac{df(x)}{dg(x)}\left(a\right)=\lim_{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}$

Gillar den förklaringen! Ett tecken på att detta är en naturlig generalisering av den den vanliga derivatan är att om f(x) är en funktion av g(x), i bemärkelsen att f(x)=h(g(x)) för någon funktion h, och om både h och g är deriverbara med g'(x)<>0, så kommer det gälla att

dh(g(x))/dg(x)=h'(g(x)),

dvs. i det här fallet sammanfaller resultatet med vad man skulle få om man gjorde variabelbytet y=g(x) och deriverade med avseende på y som vanligt.

Albiki skrev:

För att "derivatan" av $f(x) = tan(x)$ med avseende på funktionen $g(x)=sin(cos(e^x)))$ ska vara meningsfull måste bland annat funktionen $g:A\to B$ vara bijektiv och man måste tänka på hur definitionsmängder och värdemängder hos $g$ och $f$ hänger ihop.

Jag vet inte riktigt om jag hänger med här. Med AlvinB:s definition är det så vitt jag kan se tillräckligt (men kanske inte nödvändigt) att både f och g är deriverbara i x=a med g'(a)<>0 för att (df/dg)(a) ska existera. Har du måhända någon annan generalisering av derivatabegreppet i åtanke?