13 svar
200 visningar
Qetsiyah är nöjd med hjälpen!
Qetsiyah 670
Postad: 16 jan 2019

Integrera med hänsyn till...?

Jag råkade trycka in fel bokstav när jag skulle skriva dx och få fram en integral på miniräknaren. Jag tryckte enter ändå av nyfikenhet och till min förvåning fick jag ett svar. Jag upptäckte sedan att jag hade satt den bokstaven till ett värde. Sen när kunde man integrera med hänsyn till en konstant???

En vidare fråga: kan man integrera (och derivera) med avseende på x^2 eller ln(x) eller cosh(x) eller allmänt g(x)? Alltså inte bara x. När får man lära sig det och varför?

Albiki 4073
Postad: 16 jan 2019

Ja, det går att derivera funktionen f(x)=x2f(x) = x^2 med avseende på variabeln aa; resultatet är den konstanta funktionen noll.

När man studerar flervariabelanalys blir det aktuellt att beräkna partiella derivator som exempelvis x2y3y=3x2y2.\frac{\partial x^2y^3}{\partial y} = 3x^2y^2.

Qetsiyah 670
Postad: 16 jan 2019
Albiki skrev:

Ja, det går att derivera funktionen f(x)=x2f(x) = x^2 med avseende på variabeln aa; resultatet är den konstanta funktionen noll.

När man studerar flervariabelanalys blir det aktuellt att beräkna partiella derivator som exempelvis x2y3y=3x2y2.\frac{\partial x^2y^3}{\partial y} = 3x^2y^2.

 Intressant.

Men i ditt exempel är det fortfarande med hänsyn till variabeln y ensamt, jag menade går det att derivera med hänsyn till f(y)?

Kan du berätta precis vad det var du skrev in? Det blir lättare för oss att förstå då.

Albiki 4073
Postad: 16 jan 2019
Qetsiyah skrev:
Albiki skrev:

Ja, det går att derivera funktionen f(x)=x2f(x) = x^2 med avseende på variabeln aa; resultatet är den konstanta funktionen noll.

När man studerar flervariabelanalys blir det aktuellt att beräkna partiella derivator som exempelvis x2y3y=3x2y2.\frac{\partial x^2y^3}{\partial y} = 3x^2y^2.

 Intressant.

Men i ditt exempel är det fortfarande med hänsyn till variabeln y ensamt, jag menade går det att derivera med hänsyn till f(y)?

 Ja, det går att derivera x2y3x^2y^3 med avseende på y3y^3; den partiella derivatan blir x2x^2.

Moffen 483
Postad: 16 jan 2019
Albiki skrev:

 Ja, det går att derivera x2y3x^2y^3 med avseende på y3y^3; den partiella derivatan blir x2x^2.

 Hej!

Vad skulle hända om man ville derivera exempelvis m.a.p y4 i det exemplet?

Qetsiyah 670
Postad: 16 jan 2019
Moffen skrev:
Albiki skrev:

 Ja, det går att derivera x2y3x^2y^3 med avseende på y3y^3; den partiella derivatan blir x2x^2.

 Hej!

Vad skulle hända om man ville derivera exempelvis m.a.p y4 i det exemplet?

 Rent spontant så blir det väl d1dy vilket är lika med 0 haha.

Men Albiki vad är dx2y3dsin(y) om jag får lov att välja något så konstigt att derivera med?

AlvinB 3163
Postad: 16 jan 2019 Redigerad: 16 jan 2019
Moffen skrev:
Albiki skrev:

 Ja, det går att derivera x2y3x^2y^3 med avseende på y3y^3; den partiella derivatan blir x2x^2.

 Hej!

Vad skulle hända om man ville derivera exempelvis m.a.p y4 i det exemplet?

 Då skulle du få:

x2y3y4=x2(y4)34y4=3x2y-144=3x24y4\dfrac{\partial x^2y^3}{\partial y^4}=\dfrac{\partial x^2(y^4)^{\frac{3}{4}}}{\partial y^4}=\dfrac{3x^2y^{-\frac{1}{4}}}{4}=\dfrac{3x^2}{4\sqrt[4]{y}}

För krångligare saker (exempelvis att derivera med avseende på sinus) kan kedjeregeln användas:

df(x)dg(x)=df(x)dx·dxdg(x)=df(x)dxdg(x)dx\dfrac{df(x)}{dg(x)}=\dfrac{df(x)}{dx}\cdot\dfrac{dx}{dg(x)}=\dfrac{\frac{df(x)}{dx}}{\frac{dg(x)}{dx}}

Moffen 483
Postad: 16 jan 2019
AlvinB skrev:
Moffen skrev:

 Hej!

Vad skulle hända om man ville derivera exempelvis m.a.p y4 i det exemplet?

 Då skulle du få:

x2y3y4=x2(y4)34y4=3x2y-144=3x24y4\dfrac{\partial x^2y^3}{\partial y^4}=\dfrac{\partial x^2(y^4)^{\frac{3}{4}}}{\partial y^4}=\dfrac{3x^2y^{-\frac{1}{4}}}{4}=\dfrac{3x^2}{4\sqrt[4]{y}}

För krångligare saker (exempelvis att derivera med avseende på sinus) kan kedjeregeln användas:

df(x)dg(x)=df(x)dx·dxdg(x)=df(x)dxdg(x)dx\dfrac{df(x)}{dg(x)}=\dfrac{df(x)}{dx}\cdot\dfrac{dx}{dg(x)}=\dfrac{\frac{df(x)}{dx}}{\frac{dg(x)}{dx}}

 Tack!

oggih 296 – F.d. Moderator
Postad: 17 jan 2019 Redigerad: 17 jan 2019

AlvinB skrev:

För krångligare saker (exempelvis att derivera med avseende på sinus) kan kedjeregeln användas:
df(x)dg(x)=df(x)dx·dxdg(x)=df(x)dxdg(x)dx\dfrac{df(x)}{dg(x)}=\dfrac{df(x)}{dx}\cdot\dfrac{dx}{dg(x)}=\dfrac{\frac{df(x)}{dx}}{\frac{dg(x)}{dx}}

Har nu suttit och funderat ett tag på df(x)/dg(x), och vad det kan tänkas innebära i termer av den vanliga (gränsvärdes)definitionen av derivata, men får mest ont i huvudet :-)

Vad betyder det rent konkret att derivera exempelvis f(x)=x4f(x)=x^4 med avseende på g(x)=sin(x)g(x)=\sin(x)?

AlvinB 3163
Postad: 17 jan 2019 Redigerad: 17 jan 2019

Om vi utgår från följande definition av derivatan:

dydxa=limxay(x)-y(a)x-a\dfrac{dy}{dx}\left(a\right)=\lim_{x\to a}\dfrac{y(x)-y(a)}{x-a}

d.v.s. att derivatan är gränsvärdet av kvoten mellan skillnaden i yy och skillnaden i xx kan vi rimligen definiera derivatan med avseende på en funktion som:

df(x)dg(x)a=limxaf(x)-f(a)g(x)-g(a)\dfrac{df(x)}{dg(x)}\left(a\right)=\lim_{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}

Denna definition stämmer överens med det jag skrev med kedjeregeln tidigare. Om vi tar f(x)=x4f(x)=x^4 och g(x)=sin(x)g(x)=\sin(x) får vi med gränsvärdet:

dx4dsin(x)alimxax4-a4sin(x)-sin(a)=4a3cos(a)\dfrac{dx^4}{d\sin(x)}\left(a\right)\lim_{x\to a}\dfrac{x^4-a^4}{\sin(x)-\sin(a)}=\dfrac{4a^3}{\cos(a)}

(det är enklast att beräkna med l'Hôpitals regel)

Samma sak får vi om vi tillämpar kedjeregeln:

dx4dsin(x)=dx4dxdsin(x)dx=4x3cos(x)\dfrac{dx^4}{d\sin(x)}=\dfrac{\frac{dx^4}{dx}}{\frac{d\sin(x)}{dx}}=\dfrac{4x^3}{\cos(x)}

Jag ser nu att jag slarvade i mitt tidigare inlägg. Det skall så klart vara:

x2y3y4=x2(y4)34y4=3x2(y4)-144=3x24y\dfrac{\partial x^2y^3}{\partial y^4}=\dfrac{\partial x^2(y^4)^{\frac{3}{4}}}{\partial y^4}=\dfrac{3x^2(y^{\color{red}4})^{-\frac{1}{4}}}{4}=\dfrac{3x^2}{4y}

tomast80 2458
Postad: 17 jan 2019

Går att göra en rätt snygg omskrivning också:

x4-a4sinx-sina=

(x2+a2)(x2-a2)sinx-sina=

(x2+a2)(x+a)(x-a)sinx-sina=

(x2+a2)(x+a)sinx-sinax-a

Albiki 4073
Postad: 17 jan 2019

Jag får känslan av att TS är intresserad av att derivera "vadsomhelst" med avseende på "vadsomhelst", men matematiken är inte riktigt så trivial.

För att "derivatan" av f(x)=tan(x)f(x) = tan(x) med avseende på funktionen g(x)=sin(cos(ex)))g(x)=sin(cos(e^x))) ska vara meningsfull måste bland annat funktionen g:ABg:A\to B vara bijektiv och man måste tänka på hur definitionsmängder och värdemängder hos gg och ff hänger ihop. 

oggih 296 – F.d. Moderator
Postad: 17 jan 2019 Redigerad: 17 jan 2019
AlvinB skrev:

Om vi utgår från följande definition av derivatan:

dydxa=limxay(x)-y(a)x-a\dfrac{dy}{dx}\left(a\right)=\lim_{x\to a}\dfrac{y(x)-y(a)}{x-a}

d.v.s. att derivatan är gränsvärdet av kvoten mellan skillnaden i yy och skillnaden i xx kan vi rimligen definiera derivatan med avseende på en funktion som:

df(x)dg(x)a=limxaf(x)-f(a)g(x)-g(a)\dfrac{df(x)}{dg(x)}\left(a\right)=\lim_{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}

Gillar den förklaringen! Ett tecken på att detta är en naturlig generalisering av den den vanliga derivatan är att om f(x) är en funktion av g(x), i bemärkelsen att f(x)=h(g(x)) för någon funktion h, och om både h och g är deriverbara med g'(x)<>0, så kommer det gälla att

dh(g(x))/dg(x)=h'(g(x)),

dvs. i det här fallet sammanfaller resultatet med vad man skulle få om man gjorde variabelbytet y=g(x) och deriverade med avseende på y som vanligt.

Albiki skrev:

För att "derivatan" av f(x)=tan(x)f(x) = tan(x) med avseende på funktionen g(x)=sin(cos(ex)))g(x)=sin(cos(e^x))) ska vara meningsfull måste bland annat funktionen g:ABg:A\to B vara bijektiv och man måste tänka på hur definitionsmängder och värdemängder hos gg och ff hänger ihop.

Jag vet inte riktigt om jag hänger med här. Med AlvinB:s definition är det så vitt jag kan se tillräckligt (men kanske inte nödvändigt) att både f och g är deriverbara i x=a med g'(a)<>0 för att (df/dg)(a) ska existera. Har du måhända någon annan generalisering av derivatabegreppet i åtanke?

Svara Avbryt
Close