Integral och densitetsfunktion

Om man integrerar en densitetsfunktion över hela definitionsmängden måste det bli 1. Alltså $\int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\infty} Ce^{-(x+y)}dxdy = 1$.

Inabsurdum skrev:

Om man integrerar en densitetsfunktion över hela definitionsmängden måste det bli 1. Alltså $\int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\infty} Ce^{-(x+y)}dxdy = 1$.

Jag tror jag får läsa på om det, känner inte igen det. Men hur får läraren det vidare till att få C ensamt? Jag försöker kolla efter någon regel i formelbladet som gör att $e^{-(x+y)}$= 1 men hittar ingen 😑

Integralen blir 1 och därför måste C också vara 1 för att ha likhet. För att lösa integralen kan du separera och få $\int_{0}^{\infty}e^{-x}dx \int_{0}^{\infty}e^{-y}dy$ så att du kan lösa 2 integraler i en variabel och gångra ihop.

Inabsurdum skrev:

Integralen blir 1 och därför måste C också vara 1 för att ha likhet. För att lösa integralen kan du separera och få $\int_{0}^{\infty}e^{-x}dx \int_{0}^{\infty}e^{-y}dy$ så att du kan lösa 2 integraler i en variabel och gångra ihop.

Jag känner till att jag kan separera dem så som du gör men är fortfarande lite förvirrad. Jag tänker, om jag tar den primitiva funktion av $e^{-x}$ blir det ju $e^{-x}$. Så jag har fortfarande $C{e}^{-x-y}=1$ kvar. För jag kan väl inte stoppa in 0 och ∞ så $e^{-x-y}$?

Om vi bara tittar på ena delen $\int_{0}^{\infty} e^x dx$ så är det lika med $\lim_{x \rightarrow \infty} F(x) - F(0)$ där $F(x)$ är primitiv funktion (obs det blir $-e^{-x}$, minus före).

Inabsurdum skrev:

Om vi bara tittar på ena delen $\int_{0}^{\infty} e^x dx$ så är det lika med $\lim_{x \rightarrow \infty} F(x) - F(0)$ där $F(x)$ är primitiv funktion (obs det blir $-e^{-x}$, minus före).

Oj, jag råkade tänka fel. $-e^{-x} och -e^{-y}$ blir det givetvis.

Om jag har $F\left(x\right)-F\left(0\right)=\hspace{0.17em}-e^{-\infty } -(-1) och F\left(y\right)=-e^{-\infty }-(-1)$.  Eftersom $-e^{-\infty }=0$ , $F\left(x\right)-F\left(0\right)=0+1 =1 och F\left(y\right)-F\left(0\right)=0+1=1$ så att $F(x,y)=C\times 1\times 1=1 \Rightarrow C=1$. Tror jag förstod nu 😄
Tack för tålamod och din tid!