Integral och primitiv funktion

Vad är den primitiva funktionen till $\sqrt{x}$? 

Tänk på att $\sqrt{x}=x^{1/2}$.

Kan vi utnyttja detta som inspiration på något vis?

PATENTERAMERA skrev:

Vad är den primitiva funktionen till $\sqrt{x}$? 

Tänk på att $\sqrt{x}=x^{1/2}$.

Kan vi utnyttja detta som inspiration på något vis?

Okej tack! Blir det då såhär eller har jag tänkt fel?

 $$\begin{gathered} f\left(x\right)= \sqrt{10-2x} \\ f\left(x\right)= {10}^{\frac{1}{2}}-{\left(2x\right)}^{\frac{1}{2}} \\ F\left(x\right)= \frac{{10}^{-{\displaystyle \frac{1}{2}}}-{\left(2x\right)}^{-{\displaystyle \frac{1}{2}}}}{-{\displaystyle \frac{1}{2}}} \end{gathered}$$

Hedi skrev:

Okej tack! Blir det då såhär eller har jag tänkt fel?

 $$\begin{gathered} f\left(x\right)= \sqrt{10-2x} \\ f\left(x\right)= {10}^{\frac{1}{2}}-{\left(2x\right)}^{\frac{1}{2}} \\ F\left(x\right)= \frac{{10}^{-{\displaystyle \frac{1}{2}}}-{\left(2x\right)}^{-{\displaystyle \frac{1}{2}}}}{-{\displaystyle \frac{1}{2}}} \end{gathered}$$

Nej. Det gäller inte i allmänhet att $\sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$.

Tänk istället att $f(x)=(10-2x)^{\frac{1}{2}}$.

Då bör $F(x)$ vara någonting liknande $k\cdot (10-2x)^{\frac{3}{2}}$.

Derivera nu $F(x)$ och se vad du får. Jämför det med $f(x)$. Kan du välja något värde på konstanten $k$ så att det går ihop?

PATENTERAMERA skrev:

Vad är den primitiva funktionen till $\sqrt{x}$? 

Tänk på att $\sqrt{x}=x^{1/2}$.

Kan vi utnyttja detta som inspiration på något vis?

$\frac{d}{dx}\left(x^{3/2}\right)=\frac{3}{2}{x}^{1/2}$.

Så en primitiv funktion till $\sqrt{x}$är $\frac{2}{3}{x}^{3/2}$.

Låt oss nu föra en generell tankegång. Låt  w(x) vara en funktion med en primitiv funktion W(x).

Om vi har en funktion z(x) som definieras enligt z(x) = w(ax + b), där a $\ne$0.

Jag hävdar att en primitiv funktion, Z(x), till z(x) ges av W(ax + b)/a.

Bevis:

Vi utnyttjar kedjeregeln

$\frac{d}{dx}\frac{W\left(ax+b\right)}{a}=\frac{W\text{'}(ax+b)}{a}\frac{d(ax+b)}{dx}=\frac{W\text{'}(ax+b)}{\cancel{a}}\cancel{a}=w(ax+b)=z\left(x\right)$. QED

Om du sätter w(x) = $\sqrt{x}$, och z(x) = w(10 - 2x), så borde du komma vidare med hjälp av vad som sagts ovan.