Introduktion till kvantmekanik, förstår mig inte på uppgift

Hej jag håller på med den fria partikeln i kvantmekaniken (V(x) = 0), jag fick följande uppgift att beräkna. c) klarade jag men det är d) jag har svårt att förstå mig på:

Nedan följer lösningsförslaget

Jag förklarar hur mycket jag fattar/inte fattar:

Jag är med på att ett stort a kommer ge en vällokaliserad $\Psi$, det ser man på uttrycket i uppgiftsbeskrivningen, jag förstår också att om Ψ är vällokaliserad så är så är ${\sigma }_x$ litet och enligt osäkerhetsrelationen så är ${\sigma }_p$ stort men jag kan inte se hur det ger en stor spridning i k? Jag vet att de Broglie ger $p = hk$ där h är plancks konstant (kan inte hitta sträcket till h:et). Men vi vet att en fri partikel inte har en fix energi (eng. definite energy) från följande stycke:

 

så hur skulle man ens kunna säga att det finns en spridning i k när $\frac{hk}{2m}=\sqrt{\frac{E}{2m}}$?   

Men okej, säg att det finns en spridning i k vad betyder det? betyder det att $\varphi \left(k\right)$ har ganska lika värden för varje k dvs att $\varphi \left(k\right)$ är en ganska bred funktion. $\varphi \left(k\right)$ hittas i integralen

$\Psi (x, t)=\frac{1}{\sqrt{2\mathrm{\pi }}}{\int }_{-\infty }^{\infty }\varphi \left(k\right)e^{i\left(kx-\frac{h{k}^2}{2m}t\right)}dk$

(där HL är uttrycket för vågfunktionen hos en fri partikel). Om det gör det varför gäller det att att en spridning i k betyder en bred $\varphi \left(k\right)$?

 

Jag har suttit fast här ett tag så all hjälp uppskattas. Om det krävs några förtydliganden så säg bara till. Boken jag använder är Introduction to quantum mechanics av Griffths