Intuition för hyperbolisk funktioner

$\cos x = \cfrac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}$

$\sin x = \cfrac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}$

och

$\cosh x = \cfrac{e^x + e^{-x}}{2}$

$\sinh x = \cfrac{e^x - e^{-x}}{2}$

Förhoppningsvis ser du skillnad och likheter och varför de får liknande relationer till varandra. Glömmer jag bort hur trigonometriska eller hyperboliska funktioner fungerar så drar jag bara upp dessa och deriverar exponentialfunktioner. 

Finns det någon regel utanför komplexanalys? (Jag har inte kommit dit än)

Krävs inte komplex analys per se utan de första två relationerna för cosinus och sinus är direkta följder av Eulers formel som man lärde sig i slutet av gymnasiet

$e^{ix} = \cos x + i \sin x$

$e^{-ix} = \cos x - i \sin x$

https://en.wikipedia.org/wiki/Euler%27s_formula#Relationship_to_trigonometry

och derivatan 

$(e^{ix}) = i e^{ix}$

är både naturlig och ganska enkel att härleda om man skulle vilja. 

Sedan finns det en massa andra relationer (de flesta av vilka dyker upp om man googlar nyckelorden) men de ovan skulle jag säga är de som är mest kraftfulla i relation till vad man kan härleda från dem i proportion till hur svåra de är att memorera. 

Den andra som kommer på rak arm är att trigonometriska funktioner är lösningar till differentialekvationen

$y'' + y = 0$

medan de hyperboliska är till

$y'' - y = 0$

Dvs idén att trigonometriska efter två deriveringar blir sig (-1)*sig själva medan de hyperboliska blir sig själva efter två deriveringar. 

Wow - tack!

Det kan även vara intressant att veta att på samma sätt som de trigonometriska funktionerna parametriserar en cirkel:

$(\cos(t),\sin(t))$

parametriserar de hyperboliska trigfunktionerna en (halv) hyperbel:

$(\cosh(t),\sinh(t))$

Det är nämligen detta som har gett de hyperboliska trigfunktionerna deras namn.