0 svar
65 visningar
Albiki 3912
Postad: 12 mar 2019 Redigerad: 12 mar 2019

Invertering av matris via eliminering

Hjälpsats: Om AA är en kvadratisk matris och BB är en matris sådan att AB=1AB = 1 (enhetsmatrisen) så är AA inverterbar och B=A-1B = A^{-1}.

Bevis. Matrisen AA är av typ n×nn\times n och för att produkten ABAB ska vara definierad måste matrisen BB vara av typ n×pn\times p för något heltal pp; matrisprodukten blir då av typ n×pn\times p. Enhetsmatrisen är en kvadratisk matris så för att egenskapen AB=1AB=1 ska kunna gälla måste matrisen BB vara kvadratisk av typ n×nn\times n.

Matrisens determinant detB\det B är därför definierad och man kan beräkna

    detAB=detA·detB=det1n×n=1.\det AB = \det A \cdot \det B = \det 1_{n\times n} = 1.

Detta visar att detA0\det A \neq 0 vilket betyder att matrisen AA är inverterbar. 

Det gäller att AA-1=1n×nAA^{-1} = 1_{n\times n} och att AB=1n×nAB = 1_{n\times n} vilket medför att

    0n×n=AA-1-AB=A(A-1-B).0_{n\times n} = AA^{-1}-AB = A(A^{-1}-B).

Multiplicera från vänster med A-1A^{-1} för att få A-10n×n=A-1-BA^{-1}0_{n\times n} = A^{-1}-B det vill säga A-1=B.A^{-1} = B.

Sats. Om AA och BB är kvadratiska matriser av typ n×nn\times n och matrisen XX är en lösning till de två ekvationerna AX=1n×nAX = 1_{n\times n} och 1n×nX=B1_{n\times n}X = B så är AA inverterbar och B=A-1B = A^{-1}.

Bevis. Ekvationen 1n×nX=B1_{n\times n}X=B visar att X=BX = B och insatt i ekvationen AX=1n×nAX=1_{n\times n} får man att AB=1n×n.AB=1_{n\times n}. Eftersom AA är en kvadratisk matris säger Hjälpsatsen att AA är inverterbar och att B=A-1.B = A^{-1}.

Notera: När man säger att matrisen XX är en lösning till de två ekvationerna AX=1AX=1 och 1X=B1X=B så säger man att totalmatrisen A|1A\,|\,1 är radekvivalent med totalmatrisen 1|B1\,|\,B. Satsen säger att om man har lyckats åstadkomma denna radekvivalens så är B=A-1B = A^{-1}.

Svara Avbryt
Close