Invertering av matris via eliminering

Hjälpsats: Om $A$ är en kvadratisk matris och $B$ är en matris sådan att $AB = 1$ (enhetsmatrisen) så är $A$ inverterbar och $B = A^{-1}$.

Bevis. Matrisen $A$ är av typ $n\times n$ och för att produkten $AB$ ska vara definierad måste matrisen $B$ vara av typ $n\times p$ för något heltal $p$; matrisprodukten blir då av typ $n\times p$. Enhetsmatrisen är en kvadratisk matris så för att egenskapen $AB=1$ ska kunna gälla måste matrisen $B$ vara kvadratisk av typ $n\times n$.

Matrisens determinant $\det B$ är därför definierad och man kan beräkna

    $\det AB = \det A \cdot \det B = \det 1_{n\times n} = 1.$

Detta visar att $\det A \neq 0$ vilket betyder att matrisen $A$ är inverterbar. 

Det gäller att $AA^{-1} = 1_{n\times n}$ och att $AB = 1_{n\times n}$ vilket medför att

    $0_{n\times n} = AA^{-1}-AB = A(A^{-1}-B).$

Multiplicera från vänster med $A^{-1}$ för att få $A^{-1}0_{n\times n} = A^{-1}-B$ det vill säga $A^{-1} = B.$

Sats. Om $A$ och $B$ är kvadratiska matriser av typ $n\times n$ och matrisen $X$ är en lösning till de två ekvationerna $AX = 1_{n\times n}$ och $1_{n\times n}X = B$ så är $A$ inverterbar och $B = A^{-1}$.

Bevis. Ekvationen $1_{n\times n}X=B$ visar att $X = B$ och insatt i ekvationen $AX=1_{n\times n}$ får man att $AB=1_{n\times n}.$ Eftersom $A$ är en kvadratisk matris säger Hjälpsatsen att $A$ är inverterbar och att $B = A^{-1}.$

Notera: När man säger att matrisen $X$ är en lösning till de två ekvationerna $AX=1$ och $1X=B$ så säger man att totalmatrisen $A\,|\,1$ är radekvivalent med totalmatrisen $1\,|\,B$. Satsen säger att om man har lyckats åstadkomma denna radekvivalens så är $B = A^{-1}$.