Irreducibelt polynom

Använd polynomdivision.

$$\begin{gathered} x^4+2=(x-1)(x-2)g\left(x\right)=(x^2-3x+2)g\left(x\right)=(x^2+2)g\left(x\right) eftersom \\ 3x=0 i {\mathrm{\mathbb{Z}}}_3 \\ g\left(x\right) går att hitta med polynomdivision \end{gathered}$$

Laguna skrev:

Använd polynomdivision.

jag fick att $x^4+2=(x^2-3x+2)(x^2+3x+7)+(15x-12)$

Okej så nu har jag faktoriserat polynomet, vad ska jag göra nu?

I ${\mathrm{\mathbb{Z}}}_3 gäller 3x = 0 för alla x.$

henrikus skrev:

I ${\mathrm{\mathbb{Z}}}_3 gäller 3x = 0 för alla x.$

$Får vi då att x^4-2=(x^2+2)(x^2+7) då i {\mathrm{\mathbb{Z}}}_3 gäller det att 3x=0, 15x=0 och 12=0$?

Ja, men du är inte klar än. 7=? Vad hände med rötterna 1 och 2?

$(x-1)(x-2)(x^2+3x+7)+(15x-12)$och detta är samma sak som $(x+2)(x+1)(x^2+1)+0 i {\mathrm{\mathbb{Z}}}_3$?  Jag är lite förvirrad :/

Du måste även verifiera att $x^2+1$är irreducibelt men det gör du lätt!

Jag tänkte precis fråga hur man vet att uppdelningen är i irreducibla faktorer. Varför är $x^2+1$ irreducibelt?

Om $x^2+1$är reducibelt måste det ha rötter i ${\mathrm{\mathbb{Z}}}_3$

Jag har inte riktigt förstått vad reducibelt och irreducibelt innebär. Skulle du kunna ge en förklaring vad begreppen innebär? 

Och, om ett polynom har rötter innebär det att den då är reducibel?

Reducibelt innebär att det går att faktorisera med koefficienter i ${\mathrm{\mathbb{Z}}}_3$.

Ja, om ett polynom har rötter (= nollställen) är det reducibelt. Så för att utreda om $x^2+1$är reducibelt behöver man bara sätta in de möjliga värdena på x och se om det blir noll. Precis som du gjorde förut för hela polynomet.

okej tack för hjälpen!!