Ja? Nej? Kanske det? aka inducerad promenad i skogen

Nja du...

Vi börjar med några basfall:

$\sum_{k = 1}^{2} \frac{1}{\sqrt{k}} = \frac{1}{\sqrt{1}} + \frac{1}{\sqrt{2}} ≃ 1, 7 2 \sqrt{2} ≃ 2, 8$

Vi antar att det gäller med n, och nu ska vi (kanske) bevisa att det även gäller för n+1!

$\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{\sqrt{n}} < 2 \sqrt{n}$

$\sum_{k = 1}^{n + 1} \frac{1}{\sqrt{n + 1}} = \frac{1}{\sqrt{1}} + \frac{1}{\sqrt{2}} + . . . + \frac{1}{\sqrt{n}} + \frac{1}{\sqrt{n + 1}} = s u m m a s o m b e v i s a d e s f ö r r u t + \frac{1}{\sqrt{n + 1}}$

$\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k}} + \frac{1}{\sqrt{n + 1}} < 2 \sqrt{n + 1} 2 \sqrt{n} + \frac{1}{\sqrt{n + 1}} < 2 \sqrt{n + 1} \frac{1}{\sqrt{n + 1}} < 2 \sqrt{n + 1} - 2 \sqrt{n}$

På VL har vi nåt som är nog mindre än 1, på HL har vi $2 (\sqrt{n + 1} - \sqrt{n})$ , vi multiplicerar hela båten med $\sqrt{n + 1}$ i hoppet att rädda båten:

$\sqrt{n + 1} < 2 \sqrt{n + 1} * \sqrt{n + 1} - 2 \sqrt{n} * \sqrt{n + 1} \sqrt{n + 1} < 2 n + 2 - 2 \sqrt{n^{2} + 2}$

...

Kan jag sluta nu??

Flytta inte rotuttrycket från VL till HL, utan skriv de på samma brålstreck istället. Då kan du förkorta, flytta om och utveckla tills du har att ett rotuttryck är större än ett negativt tal.

Menar du:

$2 \sqrt{n} + \frac{1}{\sqrt{n + 1}} < 2 \sqrt{n + 1} \frac{2 \sqrt{n} \sqrt{n + 1} + 1}{\sqrt{n + 1}} < 2 \sqrt{n + 1} \frac{2 \sqrt{n^{2} + n} + 1}{\sqrt{n + 1}} < 2 \sqrt{n + 1} \frac{2 \sqrt{n^{2} + n} + 1}{\sqrt{n + 1}} < \frac{2 (n + 1)}{\sqrt{n + 1}} 2 \sqrt{n^{2} + n} + 1 > 2 (n + 1) \sqrt{n^{2} + n} + 1 > n + 1 {(\sqrt{n^{2} + n} + 1)}^{2} > {(n + 1)}^{2} n^{2} + n + 2 (\sqrt{n^{2} + n}) + 1 < n^{2} + 2 n + 1 2 (\sqrt{n^{2} + n}) < n ? ? ?$

Jag måste erkänna att jag kände hopp nån gång under utvecklingen. Men hoppet kvävdes ganska snabbt, som när the First Order tog Rebellerna.

dajamanté skrev :
Menar du:
$2 \sqrt{n} + \frac{1}{\sqrt{n + 1}} < 2 \sqrt{n + 1} \frac{2 \sqrt{n} \sqrt{n + 1} + 1}{\sqrt{n + 1}} < 2 \sqrt{n + 1} \frac{2 \sqrt{n^{2} + n} + 1}{\sqrt{n + 1}} < 2 \sqrt{n + 1} \frac{2 \sqrt{n^{2} + n} + 1}{\sqrt{n + 1}} < \frac{2 (n + 1)}{\sqrt{n + 1}} 2 \sqrt{n^{2} + n} + 1 > 2 (n + 1) \sqrt{n^{2} + n} + 1 > n + 1 {(\sqrt{n^{2} + n} + 1)}^{2} > {(n + 1)}^{2} n^{2} + n + 2 (\sqrt{n^{2} + n}) + 1 < n^{2} + 2 n + 1 2 (\sqrt{n^{2} + n}) < n ? ? ?$
Jag måste erkänna att jag kände hopp nån gång under utvecklingen. Men hoppet kvävdes ganska snabbt, som när the First Order tog Rebellerna.

Här blir det onödigt komplicerat. Multiplicera båda led med VL:s nämnare istället, och förenkla.

$2 \sqrt{n} + \frac{1}{\sqrt{n + 1}} < 2 \sqrt{n + 1} \frac{2 \sqrt{n} \sqrt{n + 1} + 1}{\sqrt{n + 1}} < 2 \sqrt{n + 1} \frac{2 \sqrt{n^{2} + n} + 1}{\sqrt{n + 1}} < 2 \sqrt{n + 1} 2 \sqrt{n^{2} + n} < 2 n + 1$

...

....

Måste jag dra ut något triangle sidor sats här?

Nej, nu blev det knas. Vad hände med ettan i VL? Och vad händer mellan det näst sista och det sista steget?

$2 \sqrt{n} + \frac{1}{\sqrt{n + 1}} < 2 \sqrt{n + 1} \frac{2 \sqrt{n} \sqrt{n + 1} + 1}{\sqrt{n + 1}} < 2 \sqrt{n + 1} 2 \sqrt{n^{2} + n} + 1 < 2 (n + 1) 2 \sqrt{n^{2} + n} + 1 - 1 < 2 n + 2 - 1$

Ettan offrades för republiken.

Ajdå, det borde jag ha sett. -1 cred. :(

Men efter att ha skrivit VL på samma bråkstreck skulle jag göra detta:

Och att ett positivt tal plus ett rotuttryck (med endast positiva tal) är större än ett negativt tal är självklart.

Mycket intelligent bevis, trots allt fourberie av induktionsvärlden!

Svara Avbryt

Visa senaste svar