Jacobiandeterminant (nästan dubbeltråd, eller sub-tråd, m.a.p AlvinB o Albiki lösningar... sorry!)

Hej!

Ett par försök att svara på dina frågor:

1. Man kan skriva jacobianen som ${\mathit{J}}_{\mathbf{i}\mathbf{j}}=\frac{\partial f_i}{\partial x_j}$. Alltså: varje rad är en funktion, varje kolonn är en variabel.
2. Namnbyten, som det här är, får du alltid göra. Det är dina variabler, du gör vad du vill med dem :). Strängt taget får du göra vilken transform du vill, så länge du för in rätt derivator i jacobianen.
3. Jo, jag håller med, jag ser inte varför inte. Men svaret blir ju rätt :(

haraldfreij skrev:

Hej!

Ett par försök att svara på dina frågor:

1. Man kan skriva jacobianen som ${\mathit{J}}_{\mathbf{i}\mathbf{j}}=\frac{\partial f_i}{\partial x_j}$. Alltså: varje rad är en funktion, varje kolonn är en variabel.
2. Namnbyten, som det här är, får du alltid göra. Det är dina variabler, du gör vad du vill med dem :). Strängt taget får du göra vilken transform du vill, så länge du för in rätt derivator i jacobianen.
3. Jo, jag håller med, jag ser inte varför inte. Men svaret blir ju rätt :(

 Tack för svaret :))

1. Hur menar du? Var skulle jag skriva det?

2. Ja, men... hmmm jag köper inte det riktigt.

Jag märker att jag glömde en fråga, nämligen den här med att y är lika med v och v är en konstant...

Det man menare är att v och u är oberoende variabler, så dv/du=0. Och v=y, så dy/dv=0. Man kan också bara säga att y=v=1v+0u. Derivera det map på u så är det 0.

Ok, det typ makes sense. Jag ska försöka smälta det så länge...

1. Som harald sa så deriverar man med avseende på samma variabel i kolonnerna och i raderna deriverar man samma utbytta variabel (som nu är en funktion av de nya variablerna).

2. Dessa variabelbyten är ganska lika de man gör på en enkelintegral. Tänk att du får göra vilken $t=...$-substitution så länge du gör $dt=...$-differentialen korrekt. På samma sätt kan du göra vilken $u=..., v=...$ så länge du utför Jacobideterminanten korrekt.

Likt med enkelintegraler finns det variabelbyten som bara krånglar till integralen och så finns det variabelbyten som är riktigt hjälpsamma. Det svåra är alltså att hitta ett variabelbyte som förenklar integralen.

3. Här har det blivit knas när du läst Albikis lösning. Fyran i nämnaren kommer inte förrän senare.

$\displaystyle \int_0^1 \int_{4v}^{4v+12} \frac{u^4}{3}\ dudv \neq \int_0^1 \frac{(4v+12)^5-(4v)^5}{3\cdot 4\cdot 5}\ dv$

AlvinB skrev:

1. Som harald sa så deriverar man med avseende på samma variabel i kolonnerna och i raderna deriverar man samma utbytta variabel (som nu är en funktion av de nya variablerna).

 

Aha. Det menade Harald!

... nåt intuitiv sätt att komma ihåg varför det är så?

2. Dessa variabelbyten är ganska lika de man gör på en enkelintegral. Tänk att du får göra vilken $t=...$-substitution så länge du gör $dt=...$-differentialen korrekt. På samma sätt kan du göra vilken $u=..., v=...$ så länge du utför Jacobideterminanten korrekt.

Okej.

Likt med enkelintegraler finns det variabelbyten som bara krånglar till integralen och så finns det variabelbyten som är riktigt hjälpsamma. Det svåra är alltså att hitta ett variabelbyte som förenklar integralen.

3. Här har det blivit knas när du läst Albikis lösning. Fyran i nämnaren kommer inte förrän senare.

$\displaystyle \int_0^1 \int_{4v}^{4v+12} \frac{u^4}{3}\ dudv \neq \int_0^1 \frac{(4v+12)^5-(4v)^5}{3\cdot 4\cdot 5}\ dv$

 Ah okej, först  $\frac{1}{3}\int u^4 \to \frac{u^5}{3·5}$, och sen, när vi sätter gränserna som innehåller $4v$ dyker den 4 i nämnaren.