Jag tänker att antal tal y kan anta bör vara arean under y=x i intervallet 0 till 1

Vad frågas efter? Kan du ge oss hela uppgiften?

Finns det något jag kan förtydliga i min fråga, så den går att svara på?

Vilken av a, b och c är det din fråga gäller?

Rita gärna en bild.

Laguna skrev:

Vilken av a, b och c är det din fråga gäller?

Rita gärna en bild.

b, är väl mest relevant, men rent generellt så anser jag att antal möjliga tal för y bör beräknas på samma sätt som x, där ett utryck för y är en lutande linje.

Den horizentella linjen är den korrekta linjen att ta integral på enligt facit, MEN enligt mig så bör antalmöjliga utfall för y beräknas på samma sätt som x(med samma linje), eftersom uppgiften egentligen inte betraktar y som en funktion av x.

Kan du visa facit också?

Laguna skrev:

Kan du visa facit också?

Varför tror du att facit betraktar y som en funktion av x? Det gär de inte. De  ser sannolikheten för att talet y är mindre än ett visst tal som en funktion av detta tal. Sannolikheten att y < 0,5 = 0,5. Sannolikheten att y < 1 = 1.

Facit använder inte integral för det enkla fallet b, men man kan göra det. Hur ser din integral ut i så fall?

Laguna skrev:

Facit använder inte integral för det enkla fallet b, men man kan göra det. Hur ser din integral ut i så fall?

Jag försöker förstå, ska man inte beräkna antal möjliga tal x och y kan anta sedan dividera den en med den andra.

Menar du det som facit gör?

Laguna skrev:

Menar du det som facit gör?

Nej, ja menar att man beräknar antalet y kan anta och antalet x kan anta

Det är ett oändligt antal, du kan inte tala om antal här. Därför talar man om area i stället.

Laguna skrev:

Det är ett oändligt antal, du kan inte tala om antal här. Därför talar man om area i stället.

Ja självfallet, men jag tänkte att man kunde beräkna y på samma sätt som x

Hur har man beräknat x, menar du?

Smaragdalena skrev:

Hur har man beräknat x, menar du?

y=x

är linjen, och jag menar att man invertera kordinat systemet och beräknar integralen x=y, för andelen y

Det blir mycket klarare (för mig i alla fall) om man ser det som punkter (x,y) i stället för tal. Och sannolikheten blir andelen punkter som uppfyller villkoret av alla punkter som uppfyller grundvillkoren. Andel beräknas med areor.

farfarMats skrev:

Det blir mycket klarare (för mig i alla fall) om man ser det som punkter (x,y) i stället för tal. Och sannolikheten blir andelen punkter som uppfyller villkoret av alla punkter som uppfyller grundvillkoren. Andel beräknas med areor.

Jag försöker förstå vad som är logiskt med att ta integralen / beräkna arean av y som alla möjliga utfall.

Y integralen beräknas i x intervallet

Helt enkelt för att vi talar om oändligt många punkter (eller tal), alltså kan vi inte tala om antal över huvud taget.

Här har du en utfallsmängd alla punkter i rektangeln som anges i grundvillkoren,  den har ytan pi och alla delutfallsmängder har sannolikheten lika med sin yta delat med pi ( för att uppfylla axiomet att utfallsuniverset har sannolikhet 1 samt förutsättningen i uppgiften om slumpmässighet )

Du kan ju vid tillfälle pricka av denna sannolkhet mot av axiomen för ett sannolikhetsmått.

farfarMats skrev:

Helt enkelt för att vi talar om oändligt många punkter (eller tal), alltså kan vi inte tala om antal över huvud taget.

Här har du en utfallsmängd alla punkter i rektangeln som anges i grundvillkoren,  den har ytan pi och alla delutfallsmängder har sannolikheten lika med sin yta delat med pi ( för att uppfylla axiomet att utfallsuniverset har sannolikhet 1 samt förutsättningen i uppgiften om slumpmässighet )

Du kan ju vid tillfälle pricka av denna sannolkhet mot av axiomen för ett sannolikhetsmått.

Kan man beräkna uppgiften genom att ta integralen för x, sedan integralen för y på samma sätt som x men i ett annat intervall, sedan subtrahera de fall som ger lika för båda värderna, sedan adera ihop resterna få totala utfall, sedan gynnsamma utfall.

Jag är lite osäker på vad du menar med ditt förslag på integralberäkning. Se min tolkning längst ner.

Men vi börjar med att säkerställa en gemensam förståelse för själva uppgiften:

Jag illustrerar b-uppgiften med en bild som visar utfallsrummet $0\leq x\leq\pi$ och $0\leq y\leq1$ (med blåa begränsningslinjer) och en röd sträcka som motsvarar $y = x$.

De punkter i utfallsrummet som uppfyller villkoret $y > x$ är de punkter som ligger ovanför den röda sträckan.

Andelen punkter som ligger ovanför den röda sträckan är lika med (arean av den övre vänstra triangeln)/(arean av hela utfallsrummet, dvs rektangeln).

Det enklaste sättet att beräkna dessa areor är att använda formlerna för arean av en triangel respektive rektangel.

Dessa två areor går även att beräkna med integraler, t.ex. på följande sätt:

• Arean av den övre vänstra triangeln är lika med $\int_{0}^{1}(1-x)\operatorname dx$
• Arean av utfallsrummet, dvs rektangeln, är lika med $\int_{0}^{\pi}1\operatorname dx$

Var det något sådant du menade?

============

Här är motsvarande illustrationer av a- respektive c-uppgiften. I dessa fall behöver du använda integraler för att beräkna arean av det delområde som motsvarar olikheterna $y<>$ respektive $y<\cos(x)$.

Tillägg: 21 mar 2024 12:35

Det blev fel i formateringen av sista meningen. Det ska stå "... olikheterna y < sin(x) respektive y < cos(x)".

Yngve skrev:

Jag är lite osäker på vad du menar med ditt förslag på integralberäkning. Se min tolkning längst ner.

Men vi börjar med att säkerställa en gemensam förståelse för själva uppgiften:

Jag illustrerar b-uppgiften med en bild som visar utfallsrummet $0\leq x\leq\pi$ och $0\leq y\leq1$ (med blåa begränsningslinjer) och en röd sträcka som motsvarar $y = x$.

De punkter i utfallsrummet som uppfyller villkoret $y > x$ är de punkter som ligger ovanför den röda sträckan.

Andelen punkter som ligger ovanför den röda sträckan är lika med (arean av den övre vänstra triangeln)/(arean av hela utfallsrummet, dvs rektangeln).

Det enklaste sättet att beräkna dessa areor är att använda formlerna för arean av en triangel respektive rektangel.

Dessa två areor går även att beräkna med integraler, t.ex. på följande sätt:

• Arean av den övre vänstra triangeln är lika med $\int_{0}^{1}(1-x)\operatorname dx$
• Arean av utfallsrummet, dvs rektangeln, är lika med $\int_{0}^{\pi}1\operatorname dx$

Var det något sådant du menade?

============

Här är motsvarande illustrationer av a- respektive c-uppgiften. I dessa fall behöver du använda integraler för att beräkna arean av det delområde som motsvarar olikheterna $y<>$ respektive $y<\cos(x)$.

 

---

Tillägg: 21 mar 2024 12:35

Det blev fel i formateringen av sista meningen. Det ska stå "... olikheterna y < sin(x) respektive y < cos(x)".

Det problemet jag har i att förstå uppgiften är att se varför andelen x kan vara behandlas på ett annat sätt än y, x behandlas som en funktion av y, blir en lutande linje, medans y behandlas som ett värde.