Jämförelse av 2 likartade uppgifter

Jag hjälper dig med första uppgiften. 

Y=kx+m är den tangenten som går igenom origo till funktionen. 

K-värdet för denna tanget i origo är samma sak som f'(0). Alltså k=f'(0). Fixar du det?

M värdet får du genom att ta en punkt på grafen och stoppa in i räta linjens ekvation.

Den här metoden fungerar för båda uppgifterna. 

Om du deriverar och sätter in x = 0 i den första uppgiften så får du kurvans lutning när x = 0. Men tangenten nuddar inte kurvan i x = 0 utan någon annanstans, vilket betyder att kurvans lutning i x = 0 är ointressant.

Rita, för hand.

okej. Om vi börjar med den övre uppgiften.

f(x)=e^2x

f’(x)=2e^2x

f’(0)=2e^2*0=2

k är lika med 2 .

punkten jag har är (0,0) men det metoden fungerar inte alls för den övre uppgiften. Det blir fel svar

Laguna skrev:

Om du deriverar och sätter in x = 0 i den första uppgiften så får du kurvans lutning när x = 0. Men tangenten nuddar inte kurvan i x = 0 utan någon annanstans, vilket betyder att kurvans lutning i x = 0 är ointressant.

Rita, för hand.

Hur kan kurvan i den övre uppgiften inte nudda x=0? Det står ju att funktionen f(x) har en tangent genom origo

här är frågan förresten 

Jag backar ut lite och försöker förklara sammanhanget.

===============

I allmänhet gäller att för att kunna bestämma ekvationen för en rät linje y = kx+m så behöver du dels ta reda på k-värdet, dels ta reda på m-värdet.

För att kunna bestämma båda dessa obekanta så behöver du antingen känna till två punkter på linjen eller så behöver du känna till linjens lutning och en punkt på linjen.

Beroende på vad du känner till om linjen så kan du använda någon av följande två metoder för att bestämma linjens ekvation: 

1. Metod 1. Om du känner till två punkter på linjen, vi kallar dem $P_1=(x_1,y_1)$ och $P_2=(x_2,y_2)$, så kan du använda sambandet $k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ för att bestämma $k$ och sedan gå vidare med metod 2.
2. Metod 2. Om du känner till lutningen $k$ och en punkt på linjen, vi kallar den $P_1=(x_1,y_1)$, så har du ju redan $k$ och kan då bestämma $m$ antingen genom sambandet $y_1=kx_1+m$ eller sätta upp ekvationen direkt med hjälp av enpunktsformeln $(y_1-y)=k(x_1-x)$.

Jag tror att du är bekant med båda dessa metoder.

Vilken av dessa du kan/bör använda beror helt och hållet på vad du känner till om linjen.

===========

I fallet $f(x)=e^{2x}$ känner du inte till koordinaterna för tangeringspunkten och därmed inte heller linjens lutning.

Men du kan ta reda på linjens lutning $k$ genom att sätta upp och kombinera de båda sambanden $k=\frac{y_2-y1}{x_2-x_1}$ och $k=f'(x_2)$.

Vi kallar då origo för $P_1$, dvs $(x_1,y_1)=(0,0)$ och tangeringspunkten för $P_2$, dvs tangeringspunktens koordinater är $(x_2,y_2)$.

När du väl har bestämt $k$ så vet du lutningen och en punkt på linjen och du kan då använda metod 2 för att bestämma linjens ekvation.

===============

I fallet "Linjen som tangerar $f(x)=x^2+2x$ i punkten $(0,0)$ så känner du redan till tangeringsounkten $(0,0)$ och du kan då enkelt ta reda på tangentens lutning genom $k=f'(0)$.

Då vet du lutningen och en punkt på linjen, vilket gör att du kan använda metod 2 för att bestämma linjens ekvation.

=============

Blev det klarare då?

Men det står ju i uppgiften om f(x)=e^2x att tangenten tangerar genom origo. Vad innebär det? Är det inte samma sak som i den andra uppgiften som vi jämför med?

Bilden för funktionen f(x)=e^2x . Vi vet att tangenten går igenom origo men vi känner inte till tangeringspunkten 

Lisa14500 skrev:

Men det står ju i uppgiften om f(x)=e^2x att tangenten tangerar genom origo. Vad innebär det? Är det inte samma sak som i den andra uppgiften som vi jämför med?

Nej det står att tangenten går genom origo.

Vad det innebär har du själv visat ned din skiss. Bra!

Origo ligger inte på grafen till exponentialfunktionen.

Här har du alltså en situation där den givna punkten inte ligger på funktionens graf.

Därför gäller inte sambandet $y=e^{2x}$ för punkten $(0,0)$.

=======

I den andra uppgiften så ligger den givna punkten på funktionens graf.

Därför gäller sambandet $y=x^2+2x$ för punkten $(0,0)$.