Jobbig Trig Ekvation

De här är min ansats.

Du använder kvadreringsregeln fel: (a-b)² är inte a²-b². Så raden 1 - t² -t² = 6/4 stämmer inte.

Var andvände jag den fel ?

Men, om jag tar kvadreringregeln ovanför rottecknet borde ju den försvinna ?

Fundera på hur du kom från rad 5 till rad 6.

Jag föreslår att du går från rad 5 till

$\sqrt{1-t^2}=t+\sqrt{6}/2$

först.

Laguna skrev:

Fundera på hur du kom från rad 5 till rad 6.

Jag föreslår att du går från rad 5 till

$\sqrt{1-t^2}=t+\sqrt{6}/2$

först.

Vad gör det för skillnad ? Likheten är ju ändå detsamma 

ok så vi har då :

$$\begin{gathered} \sqrt{1-t^2}=t+\frac{\sqrt{6}}{2} \\ {\left(\sqrt{1-t^2}\right)}^2={\left(t+\frac{\sqrt{6}}{2}\right)}^2 \\ 1-t^2=t^2+2\left(\frac{2t\sqrt{6}}{2}\right)+\frac{6}{4} \\ 1-t^2=t^2+2t\sqrt{6}+\frac{3}{2} \\ -2t^2+1-(2t\sqrt{6}+\frac{3}{2})=0 \end{gathered}$$

Det blir en 2:a för mycket i högerledet i uträkningen:

Högerledet blir:

$$\begin{gathered} t^2 + 2t*\frac{\sqrt{6}}{2} + \frac{6}{4} \\ ger \\ {t}^2 + t\sqrt{6} + \frac{3}{2} \end{gathered}$$

Samla ihop termerna för $t^2, t och siffror$, var för sig i vänsterledet, för att få fram t. Och senare x.

sen är det väl pq-formeln alternativt kan jag väl använda derivatan:s nollställe 

Arup skrev:

Laguna skrev:

Fundera på hur du kom från rad 5 till rad 6.

Jag föreslår att du går från rad 5 till

$\sqrt{1-t^2}=t+\sqrt{6}/2$

först.

Vad gör det för skillnad ? Likheten är ju ändå detsamma 

Skillnaden är att om du fortsätter från rad 5 och bara kvadrerar så får du fortfarande en kvadratrot i vänsterledet.

Beroende på vilken del av kursen den här uppgiften kommer ifrån skulle man kunna tro att det också handlar om formlerna för summa och skillnad av argument.

En sådan formel är sin(a-b) = sin a  cos b -sin b cos a

Här har vi att sin a  -cos a = sqr 6/2

om vi nu sätter sin b =cos b =1/sqr2 för b=pi/4 (= 45 grader) och multiplicerar in i alla termer

så får vi 

sin (x-pi/4) = $\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{\sqrt{6}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$= sin (pi/3 +n2 pi) eller sin (2pi/3 +n 2 pi)

Men som sagt, det kanske handlar om andragradsekvationer.

Jag tror också det är bäst (och meningen) att skriva om sin(x) - cos(x) till Asin(x+B).

Men att göra som trådskaparen leder säkert också till målet.

Hur skriver jag om

$\sin \left(x\right)-\cos \left(x\right)$till 

$A\sin (x+ B) ?$

Arup skrev:

Hur skriver jag om  $\sin \left(x\right)-\cos \left(x\right)$till  $A\sin (x+ B) ?$

Se Avsnitt "1.3 Trigonometriska funktioner", del "Kurvan y = a sin x + b cos x" på sid 51--53 i din kursbok (Matematik 5000+, kurs 4)

Menar du hjälp vinkel metoden ?

Detta är en formel du kan använda. Vad är $a$ och $b$ här? Vad blir $c$ och $v$?

Är inte koeffeicententerna framför sin och cos 1 ?

Nej. Koefficienten framför cos x är -1. (och det är 1 framför sin x)

Aha, just det. Tittade lite för snabbt.

Blir det inte då :

$$\begin{gathered} c=\sqrt{1-1} \\ c=0 \\ \tan \left(x\right)=1 \\ x=\frac{\mathrm{\pi }}{4} \\ f\left(x\right)=\sin (x+\frac{\mathrm{\pi }}{4}) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \sin (x+\frac{\mathrm{\pi }}{4})=\frac{\sqrt{6}}{4} \\ {x}_1+4={\sin }^{-1}\left(\frac{\sqrt{6}}{4}\right)+n\times \mathrm{\pi } \\ {\mathrm{x}}_2+4=\mathrm{\pi }-{\sin }^{-1}\left(\frac{\sqrt{6}}{4}\right)+\mathrm{n}\times \mathrm{\pi } \\ {\mathrm{x}}_1=33,7+\mathrm{n}\times \mathrm{\pi } \\ {\mathrm{x}}_2=142,24+\mathrm{n}\times \mathrm{\pi } \end{gathered}$$

Nej. Om man följer beteckningen från #17, så är $a = 1$, $b=-1$, således $c = \sqrt{(1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}$. När det gäller fasvinkeln, så blir $\tan v = \dfrac{-1}{1} = -1$ och därmed $v = \arctan{(-1)}=- \dfrac{\pi}{4}$.

Den givna ekvationen $\sin x - \cos x = \dfrac{\sqrt{6}}{2}$ kan då skrivas om som:

$\sqrt{2} \sin{(x - \dfrac{\pi}{4})} = \dfrac{\sqrt{6}}{2}$

När båda leden divideras med $\sqrt2$, så får man att:

$\sin{(x - \dfrac{\pi}{4})} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$

Kan du fortsätta härifrån?

Jag bara lite osäker är peioden $\mathrm{\pi }$eller $2\mathrm{\pi } ?$

Perioden för sin är 2 pi.

Varflr är den inte pi ?

Motexempel: 

$\sin(\pi/2) = 1$, men $\sin(\pi/2 + \pi) = \sin(3\pi / 2) = -1 \neq 1$. 

Titta på enhetscirkeln.

Laguna skrev:

Titta på enhetscirkeln.

Här den 

Så hur kan jag avgöra om perioden är $2\mathrm{\pi } ?$

Sinusvärdet av en vinkel är lika med y-koordinaten för motsvarande punkt på enhetscirkeln.

I bilden ser du att du kommer till samma punkt när vinkeln ökas eller minskas med ett helt antal varv.

Eftersom ett varv motsvarar 2pi radianer så betyder det att sin(v) = sin(v+n*2pi), dvs att perioden är 2pi.

Ok, om jag har förstått rätt så blir perioden om vinkeln minskas ?

Jag förstår inte vad det betyder.

Perioden för en periodisk funktion är det minsta positiva tal p sådant att f(x+p) = f(x) för alla x. Om du ritar f i ett koordinatsystem betyder det att du kan klippa ut en bit som är p bred och sedan lägga den så att passar perfekt p enheter längre bort, och 2p och 3p, osv.

Arup skrev:

Ok, om jag har förstått rätt så blir perioden om vinkeln minskas ?

Undrar du ifall sinusfunktionen får samma värde då vinkeln minskar med 2pi radianer?

• i så fall är svaret ja.

Det gäller alltså att sin(v) = sin(v+n*2pi) för alla heltal n, även negativa sådana.

========

Exempel: Det gäller att sin(2,45pi) = sin(0,45pi) eftersom 2,45pi - 2pi = 0,45pi

========

För att låna Lagunas utmärkta visualisering: Du kan lägga biten p enheter åt både höger och vänster.

Men sinus bör ju minska efter $90°$dvs $\frac{\mathrm{\pi }}{2}$(radianer).

Ja, det stämmer.

• I intervallet $-\frac{\pi}{2}\leq v\leq\frac{\pi}{2}$ så ökar sinusvärdet då vinkeln v ökar.
• I intervallet $\frac{\pi}{2}\leq v\leq\frac{3\pi}{2}$ så minskar sinusvärdet då vinkeln v ökar.

Detta går att utläsa ur enhetscirkeln, eftersom sinusvärdet för vinkeln v är lika med y-koordinaten för motsvarande punkt på enhetscirkeln.

Så hur har det med vare sig periodeb är pi eller 2pi ?

Arup skrev:

Så hur har det med vare sig periodeb är pi eller 2pi ?

Jag är osäker på vad det är du undrar.

Exempelvis så har funktionen

• sin(3x) perioden 2pi/3
• sin(x/4) perioden 8pi

Var det svar på din fråga?

Yngve skrev:

Arup skrev:

Så hur har det med vare sig periodeb är pi eller 2pi ?

Jag är osäker på vad det är du undrar.

Exempelvis så har funktionen

• sin(3x) perioden 2pi/3
• sin(x/4) perioden 8pi

Var det svar på din fråga?

Typ, jag återkommer om jag har fler frågor.

De här är iaf min lösning

Inser nu att jag har räknat lite fel 

Så här löste jag det