Jonas Måssons video (generaliserade integraler)

Man kan inte räkna ut värdet på ett uttryck som 0 * ∞. Det är odefinierat. Andra gränsvärdesuttryck på samma form, t.ex. x * 1/x², går i stället mot ∞.

Men om du tittar lite längre ner där står det: $\frac{\epsilon \ln \left(\epsilon \right)}{1+\epsilon }\to "\frac{0*(-\infty )}{1}"\to \frac{0}{1}$

Så 0*oändligheten är inte en av de odef. uttrycket, det blir 0. 

Nja, så kan man kanske skriva om man vet svaret, men det är inte bra. Du ser citationstecknena.

Marcus N skrev:

Men om du tittar lite längre ner där står det: $\frac{\epsilon \ln \left(\epsilon \right)}{1+\epsilon }\to "\frac{0*(-\infty )}{1}"\to \frac{0}{1}$

Så 0*oändligheten är inte en av de odef. uttrycket, det blir 0. 

Jag har lite svårt att förstå vad du frågar och vem det är som påstår detta men det är i vart fall fel.

Laguna har redan förklarat varför.

@ Smutsmunnen

Det ja skrev är ett feedback till Laguna.

Jag tro inte $0*\infty$är ett odefinierad uttrycket och anledning är den här: 

$$\begin{gathered} Om täljaren går emot 0 när \epsilon går emot 0. \\ Då betyder det att 0*\infty är lika med 0 ! \end{gathered}$$

Laguna skrev:

Nja, så kan man kanske skriva om man vet svaret, men det är inte bra. Du ser citationstecknena.

Vilken citationstecken? 

$$\begin{gathered} Menar du att: \\ -\epsilon \ln \left(\epsilon \right)\ne 0, då \epsilon \to 0 \end{gathered}$$

Varför säga det så på Måssons anteckning? 

Citationstecknena var dina egna, tydligen, ser jag nu.

Månsson säger inte att 0 gånger oändligheten är 0. Han säger att just det här gränsvärdet går mot 0.

Om vi ska var tydliga:

Antag att 

$\underset{x\to a}{\lim }f\left(x\right)=0$

och

$\underset{x\to a}{\lim }g\left(x\right)=\infty$

Frågan är nu, vad är

$\underset{x\to a}{\lim }f\left(x\right)g\left(x\right)$?

Svaret är att det helt beror på vad f(x) och g(x) är för funktioner. Resultatet kan bli $\infty$, -$\infty$ eller vilket tal som helst.

I det specifika fallet så är mycket riktigt

$\underset{x\to 0}{\lim } x\ln x =0$

men av det följer inte att alla gränsvärden av den typen är likadan.

För just detta gränsvärde gör vi lämpligen en omskrivning

$x \ln x =\frac{\ln x}{1/x}$

och tillämpar sedan l'hospitals regel.

Det är förövrigt mycket viktigt i matematiken att man inte hittar på egna räkneregler.

Vilka är de odefinierad uttrycket, kan ni berättar? 

$$\begin{gathered} \infty *\infty =odef. \\ \frac{\infty }{\infty }=odef. \\ 0*\infty =odef. \\ \infty +\infty =odef. \\ \infty -\infty =odef. \end{gathered}$$

Finns det mer? 

Den första som du skriver $\infty \times \infty$

är bestämd. Dvs om f(x) och g(x) båda går mot oändligheten så gör f(x)g(x) också det. Samma med f(x)+g(x) som du skriver oändligheten + oändligheten. De är alltså inte odefinierade uttryck i det avseende du menar.

Däremot bör 0/0 läggas till din lista.

$$\begin{gathered} \frac{\infty }{\infty }=odef. \\ 0*\infty =odef. \\ \infty -\infty =odef. \\ \frac{0}{0}=odef. \\ \frac{0}{\infty }=odef. \end{gathered}$$

Stämmer detta? 

Inte den sista. Om f går mot 0 och g mot oändligheten så går f/g definitivt mot 0.

Smutsmunnen skrev:

Inte den sista. Om f går mot 0 och g mot oändligheten så går f/g definitivt mot 0.

Varför är multiplikation obestämd då? 

Marcus N skrev:

Smutsmunnen skrev:

Inte den sista. Om f går mot 0 och g mot oändligheten så går f/g definitivt mot 0.

Varför är multiplikation obestämd då? 

Jag förstår inte frågan, det är väl tvärtom att den är obestämd indikerar väl att den andra är bestämd.

Förövrigt vore det bäst om du själv försökte bevisa vilka som är bestämda och obestämda. Det är inte svårt.

$" \infty + C" = \infty$

$" - \infty + C" = - \infty$

$" \infty + \infty "= \infty$

$" - \infty - \infty "= - \infty$

$" \infty \cdot \infty "= " (- \infty)( - \infty) " = \infty$

$" (- \infty) \cdot \infty "= - \infty$

$" C \cdot \infty" =$  $\left\{\begin{array}{l}\infty , C>0\\ -\infty , C<0\end{array}\right.$ 

$" C \cdot - \infty "=$ $\left\{\begin{array}{l}-\infty , C\hspace{0.17em}> 0\\ \infty , C < 0\end{array}\right.$

Resten är odef, men lägg då märke till att vi inte riktigt stoppar in oändligheten som ett tal när vi räknar gränsvärden.