9 svar
146 visningar
Hamza 64
Postad: 19 apr 2019

Kan någon förklara åt den här uppgiften?

"Euklides bevisade att antalet primtal är oändligt med ett s k motsägelsebevis" Först vad betyder ett s k motsägelsebevis?

"Vi antar t ex att bara 2, 3, 4 och 7 finns. Bilda talet n = 2 * 3 * 5 * 7 + 1. Förklara varför n måste vara ytterligare ett primtal och varför vårt antagande är fel." Sedan vad betyder antagande och vilket antagande är fel?

Kan någon återberätta uppgiften?

learningisfun 284
Postad: 19 apr 2019

Ett motsägelsebevis är ett bevis som visar att ett påstående är fel. T.ex. om jag säger att vattnet kokar vid 120 grader och du undersöker och visar att det gör vid 100 grader har du ett motsägelsebevis

 

Antagande är samma sak som gissning. Det de vill att du ska göra är att visa varför det finns oändligt med primtal genom att visa att n är ett primtal, och inte bara 2, 3, 5 och 7.

Smaragdalena 27900 – Moderator
Postad: 19 apr 2019 Redigerad: 19 apr 2019

Ordet motsägelsebevis är ganska självförklarande: Man antar att något är sant, bevisar att något i så fall blir orimligt och drar slutsatsen att det man antog från början är falskt.

I ditt exempel menar man säkert inte talen 2, 3, 4 och 7 utan 2, 3, 5 och 7 (som det står i slutet av uppgiften). 2, 3, 5 och 7 är primtal. Är du med så långt?

Hamza 64
Postad: 19 apr 2019 Redigerad: 19 apr 2019

Motsägelsebevis är ett bevis som bevisar att någon är fel, ok.

Jag förstår att jag ska förklara varför n är ett primtal, men jag förstår fortfarande inte riktigt vad de menar med satsen "varför vårt antagande antagande är fel."

Tänk dig att vi tror att det bara finns fyra primtal: 2, 3, 5 och 7. Vi tar och multiplicerar ihop de fyra talen och adderar 1. Det nya talet blir 211. 211 är inte delbart med 2, 3, 5 eller 7 - alla dessa beräkningar ger resten 1. Då finns det två möjligheter: antingen är 211 ett nytt primtal, eller så är 211 delbart med något annat tal - och i så fall måste detta mindre tal vara ett primtal. Det råkar vara så att 211 är ett primtal, och därmed har vi visat att vårt antagande att det bara finns fyra primtal var fel, och alltså finns det fler än 4 primtal. Man kan göra samma resonemang med ett jättestort primtal N istället, och då kan man bevisa att det finns minst ett primtal som är större än N, och på så sätt kan man bevisa att det finns oändligt många primtal.

Hamza 64
Postad: 19 apr 2019

Hur kan du veta i förväg att 211 är primtal utan att testa varannan nummer som är mindre än halva numret?

I boken står det samma sak: 
"Talet n = 211 är inte delbart med 2, 3, 5 eller 7. Vi får vid alla divisionerna en rest 1. Det måste då vara ytterligare ett primtal, vilket motsäger vårt antagande som alltså är fel."

Jag vet inte faktiskt. Är det verkligen hur man bevisar att någonting är fel? Jag får bara hoppa över uppgiften.

Smaragdalena 27900 – Moderator
Postad: 19 apr 2019 Redigerad: 19 apr 2019

ANTINGEN är 211 ett primtal, eller så är 211 INTE ett primtal, och i så fall kan man dela upp 211 i sina primfaktorer. I båda fallen motsäger det antagandet du gjorde: att det bara finns 4 primtal. Du behöver alltså inte räkna, bara tänka.

Hamza 64
Postad: 21 apr 2019

Nu förstår jag de säger att det finns bara 4 primtal, men för att talet N är inte delbart med de betyder det att n är ett primtal. 

Är det rätt som jag fattat?

Hamza skrev:

Nu förstår jag de säger att det finns bara 4 primtal, men för att talet N är inte delbart med de betyder det att n är ett primtal. 

Är det rätt som jag fattat?

Det kan du inte veta säkert. Läs mitt förra inlägg igen.

Albiki 4226
Postad: 21 apr 2019

Hej!

Påstående: Om aa och bb är två jämna tal så är summan a+ba+b ett jämnt tal.

Ett motsägelsebevis av påståendet fungerar såhär:

Anta att det finns två jämna tal aa och bb som är sådana att deras summa a+ba+b är inte ett jämnt tal. Om a+ba+b inte är ett jämnt tal så måste det vara ett udda tal, eftersom heltal är antingen jämna eller udda. Det betyder att man kan skriva a+b=2n+1a+b = 2n+1 där nn är något okänt heltal.

Men du vet att aa och bb båda är jämna tal så de kan skrivas

    a=2pa = 2p och b=2qb = 2q där pp och qq är några okända heltal.

Det betyder att du kan skriva summan a+ba+b som

    a+b=2p+2q=2(p+q)a+b = 2p+2q = 2(p+q)

där du bryter ut den gemensamma faktorn 22. Talet a+ba+b kan alltså skrivas på två sätt:

    2(p+q)=2n+1.2(p+q) = 2n+1.

Men det betyder att du kan skriva

    2(p+q-n)=1.2(p+q-n) = 1.

Du vet att talet 1 är ett udda tal men beräkningarna har lett dig till slutsatsen att talet 1 är ett jämnt tal.

Det är omöjligt för 1 att samtidigt vara udda och jämnt. Denna motsägelse visar att det var fel att anta att det fanns två jämna tal a och b som var sådana att deras summa var ett udda tal.

Det måste därför vara så att om aa och bb är jämna tal så är deras summa också ett jämnt tal.

Svara Avbryt
Close