Kan ni härleda maclaurinutvecklingen av arctanx?

Jag tror man deriverar.

Ja, eller vad exakt är det du vill ha?

Formeln är, om jag minns rätt:

f(0) + f'(0)x+(f''(0)x² )/2! ......

Men desto längre du går desto jobbigare blir det ju såklart. Annars är den ju väldigt lik den för sinus.

Utvecklingen för $\frac{1}{1-t}$ är känd.

Sätt: $\arctan x=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n$
Derivera båda leden.

Sätt $t=-x^2$

Bestäm $a_0$ genom att sätta $x=0$.

Hej,

Thomas antyder att man kan nå Taylorserien för arctan-funktionen via den geometriska serien.

Detta förutsätter att man får lov att byta plats på gränsvärde och integrering, något som måste undersökas för att idén ska leda till korrekt resultat; idén fungerar för övrigt bara på intervallet $[0,1)$ där den geometriska serien är konvergent, så för att utvidga resultatet till resten av $\mathbb{R}$ måste idén kompletteras med andra idéer.

• Om $0\leq x<1$ så ger geometriska serien

    $\displaystyle\frac{1}{1+x^2} = \sum_{k=0}^\infty \left(-1\right)^{k}x^{2k}$.

• Definiera kontinuerlig funktionsföljd $(f_n)$ som

    $\displaystyle f_n\left(x\right) = \sum_{k=0}^n\left(-1\right)^{k}x^{2k}\ , \quad x\in\left[0,1\right).$

Geometriska serien visar att funktionsföljden konvergerar punktvis på $[0,1)$ mot funktionen $f(x) = \frac{1}{1+x^2}$.

    $\displaystyle \lim_{n\to\infty}f_n\left(x\right)=f\left(x\right) \ , \quad x\in\left[0,1\right).$

• Om det går att finna en funktion $g(x)$ som är övre begränsning till alla funktioner i följden och $\int_0^1 g(x) \,dx <\infty$ så kan man använda Dominerade konvergenssatsen inom Integrationsteori för att dra slutsatsen

    $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\int_0^{x} f_n\left(t\right)\,dt = \int_0^{x} \lim_{n\to\infty}f_n\left(t\right)\,dt$

det vill säga

    $\displaystyle\lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^{n}\left(-1\right)^{k}\int_{0}^{x}t^{2k}\,dt = \int_0^{x} \frac{1}{1+t^2}\,dt =\arctan x\ , \quad x\in\left[0,1\right).$ 

Integralerna beräknas lätt till

    $\int_0^x t^{2k}\,dt =\frac{x^{2k+1}}{2k+1}$

vilka ger Taylorutvecklingen (eftersom Taylorutveckling är unik) av arctan-funktionen, fast bara på intervallet $[0,1)$.

    $\displaystyle\arctan x = \sum_{k=0}^\infty\left(-1\right)^k\cdot\frac{x^{2k+1}}{2k+1}\ , \quad x\in\left[0,1\right).$

Nästa sak att undersöka är om likheten gäller även utanför intervallet $[0,1)$.

     $\displaystyle\arctan x \stackrel{?}{=}\sum_{k=0}^\infty \left(-1\right)^k\frac{x^{2k+1}}{2k+1}\ , \quad x\in\left(-\infty,0\right)\cup\left[1,\infty\right).$

Albiki, har jag fattat rätt att det du gör är att använda utvecklingen för derivatan och sen integrera termvis?

Om jag minns rätt fanns det någon sats i envariabelkursen som använde absolutkonvergens för att motivera när det är tillåtet 🤔

Micimacko skrev:

Albiki, har jag fattat rätt att det du gör är att använda utvecklingen för derivatan och sen integrera termvis?

Om jag minns rätt fanns det någon sats i envariabelkursen som använde absolutkonvergens för att motivera när det är tillåtet 🤔

Ja, det är det som mitt inlägg handlar om. Satsen ifråga är Dominerade konvergenssatsen (om det aktuella problemet uppfyller dess förutsättningar).