Kapitel 3, derivata och integraler, blandande övningar 3, uppgift 20 b)
Hej, jag håller på att försöka lösa en uppgift i samband med att jag pluggar inför ett prov. Jag har klarat första deluppgiften (alltså a uppgiften) men har nu fastnat på b uppgiften och vet inte hur jag ska gå till väga. Nedan kan du se att jag påbörjat att lösa uppgiften genom att derivera funktionen K(x) och sedan satt K'(x)=0 men vet inte hur jag ska räkna ut det eller hur jag ska gå vidare. Är lite osäker då jag såg på en annan tråd att man skulle derivera funktionen men förstår inte riktigt varför oså. Skulle därför behöva lite hjälp med hur jag ska gå tillväga och varför man ska göra på sättet. (På denna uppgift är det tillåtet att använda digitala verktyg, jag använder mig då av geogebra.)
Tack i förhand!
Om en låda har bassida x och höjd h (dm) så är
x2h = 0,6 dvs
h = 0,6/x2
Lådan kostar K(x) = 10x2 + 6hx * 4 + 8x2
K(x) = 18x2 + 6*0,6x/x2
= 18x2 + 3,6/x
Du har rätt, funktionen ska deriveras:
K’(x) = 36x – 3,6/x2
Det enklaste här är att strunta i geogebra. Vi faktoriserar K’. Börja med att sätta på samma bråkstreck:
K’(x) = (36x3 – 3,6)/x2
= 36(x3 – 0,1) / x2
Nu ska vi se för vilka x som K’ byter tecken. Det kan vara där K’ inte är definierad eller där K’ är noll.
K’ är inte definierad för x = 0. Där är inte heller K definierad (om bottensidan är 0 så blir det ingen låda).
K’ = 0 för x3 = 0,1, dvs när x = 0,11/3
Vi gör ett teckenschema
x. 0. 0,11/3
K’. Odef. – 0 +
K Odef. avtar min. växer
Så billigaste lådan fås när x = kubikroten ur 0,1 ≈ 0,464 dm
Då är h = 0,6 / 0,12/3 ≈ 2,785 dm.
Varför gör man så här? Jo, vi vet att K avtar när K’ < 0 och växer när K’ > 0.
Så startar vi med x = 0 och låter x växa så kommer K att avta till dess x = 0,11/3. Därefter kommer K att växa. Så kostnaden har minimum för x = 0,11/3.
Tillägg: 30 mar 2025 21:48
OBS! Felräknat. Se nedan.
Okej tack, men du glömde ha med 100000 i funktionen för K(x) då det var de antal lådor som skulle tillverkas, sen verkar du råkat att missa att multiplicera uttrycket för lådans sidor med fyra eftersom det är fyra sidor på en låda andra gången du skulle skriva ut K(x)=....
Nja,
i (b)-uppgiften spelar det ingen roll om de tillverkar en låda eller en ziljon lådor. Jag har räknat ut den mest ekonomiska lådfomen.
Att det är fyra sidoytor finns med i min beräkning:
10x2 + 6hx * 4 + 8x2
om du tittar på andra termen 6hx gånger 4
Jag räknade som sagt inte (a).
I så fall hade jag fått
100 000 (10x2 + 6hx * 4 + 8x2)
som hela kostnaden. Men konstanten 100 000 påverkar inte deriveringen, så samma värde på x ger minimal kostnad.
Men du har rätt, jag skulle inte ha använt beteckningen K(x). Det var totala kostnaden, jag kunde infört L(x) som kostnad för 1 låda.
Ok, det som jag syfta på där du glömt multiplicera med 4 var här
Lådan kostar K(x) = 10x2 + 6hx * 4 + 8x2
K(x) = 18x2 + 6*0,6x/x2
= 18x2 + 3,6/x
men kanske bara har missförstått något. Sen i facit så ville de ha både den totala materialkostnaden för alla lådor med de mått som ger den lägsta möjliga materialkostnad och sen vilka dessa mått är alltså och svaret var 2.9 miljoner kronor till samtliga lådor med måtten 0,74 dm x 0.74 dm x 1.11 dm.
Tusan, jag skrev om lösningen, men råkade trycka någonstans så allt försvann.
Du har alldeles rätt, tack och sorry!!
Det ska bli
L(x) = 18x2 + 14,4/x
L’(x) = 36(x3–0,4) / x2
Minimum för x = 0,41/3
Det ger h = 0,6/0,42/3
En optimal låda kostar L(0,41/3) ≈ 29 kr 32 öre och hundratusen lådor kostar K(0,41/3) ≈ 2931571 kr och 3 öre. Avrundas på lämpligt sätt.
