Kedjeregeln

En tumregel kan vara att börja "inifrån och ut".

Hitta den innersta funktionen, kalla den för u(x).

Skriv om uttrycket där du ersätter den innersta funktionen med u.

Se om det fortfarande är en sammansatt funktion.

Då letar du reda på den nu innersta funktionen och kallar den för v(u).

Skriv om uttrycket ... o.s.v.

Sen är det en fördel att använda Leibniz notation för att beteckna derivatan av f med avseende på x.

I exemplet:

u(x) = x³/3+2x

Det ger dig f(u) = sin(u)

Vi får df/dx = df/du•du/dx

Derivatan av f med avseende på u är cos(u).

Derivatan av u med avseende på x är x²+2.

Vi får alltså df/dx = cos(u)•(x²+2)

Byt tillbaka från u till x³/3+2x:

df/dx = cos(x³/3+2x)•(x²+2)

Okej tack Yngve! Skall se om detta funkar bättre.

Yngve skrev:

En tumregel kan vara att börja "inifrån och ut".

Hitta den innersta funktionen, kalla den för u(x).

Skriv om uttrycket där du ersätter den innersta funktionen med u.

Se om det fortfarande är en sammansatt funktion.

Då letar du reda på den nu innersta funktionen och kallar den för v(u).

Skriv om uttrycket ... o.s.v.

Sen är det en fördel att använda Leibniz notation för att beteckna derivatan av f med avseende på x.

I exemplet:

u(x) = x³/3+2x

Det ger dig f(u) = sin(u)

Vi får df/dx = df/du•du/dx

Derivatan av f med avseende på u är cos(u).

Derivatan av u med avseende på x är x²+2.

Vi får alltså df/dx = cos(u)•(x²+2)

Byt tillbaka från u till x³/3+2x:

df/dx = cos(x³/3+2x)•(x²+2)

Vad menar du med "

Skriv om uttrycket där du ersätter den innersta funktionen med u.

Se om det fortfarande är en sammansatt funktion."

Hur ser man om det fortfarande är en sammansatt funktion? Alltså vad hade diskvalificerat det som en sammansatt funktion?

Typ så här

$f(x)=\sin(e^{x^2})$

Detta är en sammansatt funktion.

Sätt $u(x)=x^2$

Då blir $f(u)=\sin(e^u)$

Även detta är en sammansatt funktion.

Sätt $v(u)=e^u$

Då blir $f(v)=\sin(v)$

Vi får nu $\frac{df}{dx}=\frac{df}{dv}\cdot\frac{dv}{du}\cdot\frac{du}{dx}$

Med $\frac{du}{dx}=2x$, $\frac{dv}{du}=e^u$ och $\frac{df}{dv}=\cos(v)$ får vi

$\frac{df}{dx}=\cos(v)\cdot e^u\cdot2x$

Vi byter tillbaka steg för steg.

Först från $v(u)$ till $e^u$:

$\frac{df}{dx}=\cos(e^u)\cdot e^u\cdot2x$

Sedan från $u(x)$ till $x^2$:

$\frac{df}{dx}=\cos(e^{x^2})\cdot e^{x^2}\cdot2x$

Detta är en typisk tråd man hade velat sätta ett bokmärke på. Så fort någon vill veta hur kedjeregeln fungerar kan man hänvisa till Yngves inlägg. Det blir liksom inte bättre förklarat än såhär.

(pratar om ett förslag från förslagstråden)

Yngve skrev:

Typ så här

$f(x)=\sin(e^{x^2})$

Detta är en sammansatt funktion.

Sätt $u(x)=x^2$

Då blir $f(u)=\sin(e^u)$

Även detta är en sammansatt funktion.

Sätt $v(u)=e^u$

Då blir $f(v)=\sin(v)$

Vi får nu $\frac{df}{dx}=\frac{df}{dv}\cdot\frac{dv}{du}\cdot\frac{du}{dx}$

Med $\frac{du}{dx}=2x$, $\frac{dv}{du}=e^u$ och $\frac{df}{dv}=\cos(v)$ får vi

$\frac{df}{dx}=\cos(v)\cdot e^u\cdot2x$

Vi byter tillbaka steg för steg.

Först från $v(u)$ till $e^u$:

$\frac{df}{dx}=\cos(e^u)\cdot e^u\cdot2x$

Sedan från $u(x)$ till $x^2$:

$\frac{df}{dx}=\cos(e^{x^2})\cdot e^{x^2}\cdot2x$

Bästa!!