6 svar
147 visningar
w1nkard behöver inte mer hjälp
w1nkard 9
Postad: 31 jan 09:49

Kedjeregeln i fleravariabler

Hej har lite svårt att förstå kedjeregeln i flera variabler, har följande uppgift från Calculus 9th editition:

"Write appropriate versions of the chain rule for the indicated derivatives":
3. zuom z=g(x,y) y=f(x) x=h(u,v)

Har följande lösning:
z=g(h(u,v), f(h(u,v))
zu=ghhu+gffhhu
Undrar om detta blir rätt eller jag missat något?

Yngve 40978 – Livehjälpare
Postad: 31 jan 11:04 Redigerad: 31 jan 11:54

Hej.

Som du har skrivit den andra termen så hoppar du över ett par steg.

Andra termen borde bli

zggyyffxxhhu\frac{\partial z}{\partial g}\frac{\partial g}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial f}\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial h}\frac{\partial h}{\partial u}

Kan du få till första termen på samma sätt?

PATENTERAMERA Online 6219
Postad: 31 jan 13:04

Jag tror att det vanliga skulle vara att skriva så som frågeställaren gör, kanske med den skillnaden att man skriver dfdh, eftersom f är en funktion av en variabel.

PATENTERAMERA Online 6219
Postad: 2 feb 00:06

Blev du något klokare?

w1nkard 9
Postad: 2 feb 12:28
PATENTERAMERA skrev:

Blev du något klokare?

Något kanske, men förstår ej @Yngves svar, eftersom y=f(x) så borde de inte räcka med att ta partiella derivatan av f(x) och inte på y innan?

D4NIEL 3054
Postad: 2 feb 13:16 Redigerad: 2 feb 13:35

Det ska alltid vara tydligt vilka variabler en funktion beror av och uppgiften lämnar tyvärr fältet öppet för tolkningar. Jag tror det blir enklare att förstå uppgiften (som jag tolkar den) i flera steg.

Först får vi veta att funktionen gg beror av xx och yy, dvs g=g(x,y)g=g(x,y).

Sedan får vi veta att det finns ett förhållande mellan koordinaterna (x,y)(x,y) och (u,v)(u,v), bland annat gäller x=x(u,v)=h(u,v)x=x(u,v)=h(u,v) samt y=y(u,v)=f(h(u,v))y=y(u,v)=f(h(u,v)). Vi kan därför göra första steget så här

g(x(u,v),y(u,v))u=gxxu+gyyu\frac{\partial g(x(u,v),y(u,v))}{\partial u}=\frac{\partial g}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial u}+\frac{\partial g}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial u}

Nu kan vi substituera xx med hh samt yy med ff enligt sambanden givna i uppgiftstexten

ghhu+gffu\frac{\partial g}{\partial h}\frac{\partial h}{\partial u}+\frac{\partial g}{\partial f}\frac{\partial f}{\partial u}

Slutligen kan vi utveckla fh(u,v)u=fhhu\frac{\partial f\left(h(u,v)\right)}{\partial u}=\frac{\partial f}{\partial h}\frac{\partial h}{\partial u} och får därmed

zu=ghhu+gffhhu=hugh+gffh\displaystyle \frac{\partial z}{\partial u}=\frac{\partial g}{\partial h}\frac{\partial h}{\partial u}+\frac{\partial g}{\partial f}\frac{\partial f}{\partial h}\frac{\partial h}{\partial u}=\frac{\partial h}{\partial u}\left( \frac{\partial g}{\partial h}+\frac{\partial g}{\partial f}\frac{\partial f}{\partial h}\right)

Men för att få skriva så gäller det egentligen att funktionen g=g(h(u,v),f(h(u,v))g=g(h(u,v),f(h(u,v))

w1nkard 9
Postad: 2 feb 17:40
D4NIEL skrev:

Det ska alltid vara tydligt vilka variabler en funktion beror av och uppgiften lämnar tyvärr fältet öppet för tolkningar. Jag tror det blir enklare att förstå uppgiften (som jag tolkar den) i flera steg.

Först får vi veta att funktionen gg beror av xx och yy, dvs g=g(x,y)g=g(x,y).

Sedan får vi veta att det finns ett förhållande mellan koordinaterna (x,y)(x,y) och (u,v)(u,v), bland annat gäller x=x(u,v)=h(u,v)x=x(u,v)=h(u,v) samt y=y(u,v)=f(h(u,v))y=y(u,v)=f(h(u,v)). Vi kan därför göra första steget så här

g(x(u,v),y(u,v))u=gxxu+gyyu\frac{\partial g(x(u,v),y(u,v))}{\partial u}=\frac{\partial g}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial u}+\frac{\partial g}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial u}

Nu kan vi substituera xx med hh samt yy med ff enligt sambanden givna i uppgiftstexten

ghhu+gffu\frac{\partial g}{\partial h}\frac{\partial h}{\partial u}+\frac{\partial g}{\partial f}\frac{\partial f}{\partial u}

Slutligen kan vi utveckla fh(u,v)u=fhhu\frac{\partial f\left(h(u,v)\right)}{\partial u}=\frac{\partial f}{\partial h}\frac{\partial h}{\partial u} och får därmed

zu=ghhu+gffhhu=hugh+gffh\displaystyle \frac{\partial z}{\partial u}=\frac{\partial g}{\partial h}\frac{\partial h}{\partial u}+\frac{\partial g}{\partial f}\frac{\partial f}{\partial h}\frac{\partial h}{\partial u}=\frac{\partial h}{\partial u}\left( \frac{\partial g}{\partial h}+\frac{\partial g}{\partial f}\frac{\partial f}{\partial h}\right)

Men för att få skriva så gäller det egentligen att funktionen g=g(h(u,v),f(h(u,v))g=g(h(u,v),f(h(u,v))

Okej! Tack så mycket!

Svara
Close