Kedjeregeln i fleravariabler

Hej.

Som du har skrivit den andra termen så hoppar du över ett par steg.

Andra termen borde bli

$\frac{\partial z}{\partial g}\frac{\partial g}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial f}\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial h}\frac{\partial h}{\partial u}$

Kan du få till första termen på samma sätt?

Jag tror att det vanliga skulle vara att skriva så som frågeställaren gör, kanske med den skillnaden att man skriver $\frac{df}{dh}$, eftersom f är en funktion av en variabel.

Blev du något klokare?

PATENTERAMERA skrev:

Blev du något klokare?

Något kanske, men förstår ej @Yngves svar, eftersom y=f(x) så borde de inte räcka med att ta partiella derivatan av f(x) och inte på y innan?

Det ska alltid vara tydligt vilka variabler en funktion beror av och uppgiften lämnar tyvärr fältet öppet för tolkningar. Jag tror det blir enklare att förstå uppgiften (som jag tolkar den) i flera steg.

Först får vi veta att funktionen $g$ beror av $x$ och $y$, dvs $g=g(x,y)$.

Sedan får vi veta att det finns ett förhållande mellan koordinaterna $(x,y)$ och $(u,v)$, bland annat gäller $x=x(u,v)=h(u,v)$ samt $y=y(u,v)=f(h(u,v))$. Vi kan därför göra första steget så här

$\frac{\partial g(x(u,v),y(u,v))}{\partial u}=\frac{\partial g}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial u}+\frac{\partial g}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial u}$

Nu kan vi substituera $x$ med $h$ samt $y$ med $f$ enligt sambanden givna i uppgiftstexten

$\frac{\partial g}{\partial h}\frac{\partial h}{\partial u}+\frac{\partial g}{\partial f}\frac{\partial f}{\partial u}$

Slutligen kan vi utveckla $\frac{\partial f\left(h(u,v)\right)}{\partial u}=\frac{\partial f}{\partial h}\frac{\partial h}{\partial u}$ och får därmed

$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial u}=\frac{\partial g}{\partial h}\frac{\partial h}{\partial u}+\frac{\partial g}{\partial f}\frac{\partial f}{\partial h}\frac{\partial h}{\partial u}=\frac{\partial h}{\partial u}\left( \frac{\partial g}{\partial h}+\frac{\partial g}{\partial f}\frac{\partial f}{\partial h}\right)$

Men för att få skriva så gäller det egentligen att funktionen $g=g(h(u,v),f(h(u,v))$

D4NIEL skrev:

Det ska alltid vara tydligt vilka variabler en funktion beror av och uppgiften lämnar tyvärr fältet öppet för tolkningar. Jag tror det blir enklare att förstå uppgiften (som jag tolkar den) i flera steg.

Först får vi veta att funktionen $g$ beror av $x$ och $y$, dvs $g=g(x,y)$.

Sedan får vi veta att det finns ett förhållande mellan koordinaterna $(x,y)$ och $(u,v)$, bland annat gäller $x=x(u,v)=h(u,v)$ samt $y=y(u,v)=f(h(u,v))$. Vi kan därför göra första steget så här

$\frac{\partial g(x(u,v),y(u,v))}{\partial u}=\frac{\partial g}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial u}+\frac{\partial g}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial u}$

Nu kan vi substituera $x$ med $h$ samt $y$ med $f$ enligt sambanden givna i uppgiftstexten

$\frac{\partial g}{\partial h}\frac{\partial h}{\partial u}+\frac{\partial g}{\partial f}\frac{\partial f}{\partial u}$

Slutligen kan vi utveckla $\frac{\partial f\left(h(u,v)\right)}{\partial u}=\frac{\partial f}{\partial h}\frac{\partial h}{\partial u}$ och får därmed

$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial u}=\frac{\partial g}{\partial h}\frac{\partial h}{\partial u}+\frac{\partial g}{\partial f}\frac{\partial f}{\partial h}\frac{\partial h}{\partial u}=\frac{\partial h}{\partial u}\left( \frac{\partial g}{\partial h}+\frac{\partial g}{\partial f}\frac{\partial f}{\partial h}\right)$

Men för att få skriva så gäller det egentligen att funktionen $g=g(h(u,v),f(h(u,v))$

Okej! Tack så mycket!