Kedjeregeln inre och yttre

Du har $(\sin(2x-1))^4$. Yttre funktion blir $(...)^4$. Inre funktion blir $(...)$. Tänk också på att den inrefunktionen innehåller en inrefunktion med.

Som Soderstrom skriver har den första inre funktionen också en inre funktion.

Generell metod: Vi ska skapa en serie enkelt deriverbara funktioner så att y=f(g(h(x))). När vi börjar vet vi inte om det blir 2, 3 eller flera funktioner i varandra men det spelar ingen roll.
Titta på funktionen utifrån. Kalla det yttersta för f(x). Ytterst har vi upphöjt i 4:
f(x)=x^4
Nu gör vi samma sak i nästa steg. Vi kallar nästa funktion för g(x). Det yttersta av det som återstår är sinus:
g(x)=sin(x)
Nu är det bara en enkel funktion kvar, 2x-1. Vi kallar den funktionen h(x):
h(x)=2x-1

Vi kontrollerar:
f(g(h(x)))=g(h(x))^4=(sin(h(x)))^4=(sin(2x-1))^4

Derivatan:
y=f(g(h(x)))
y'=f'(g(h(x)) * g'(h(x)) * h'(x)

Det blir lätt rörigt om man använder samma oberoende variabel i både den yttre och den/de inre funktionen/-erna.

Jag föreslår att du, på samma sätt som i din andra tråd, börjar inifrån och ut:

Kalla

• den innersta funktionen $h(x)=2x-1$
• funktionen utanför den $g(h)=\sin(h)$
• funktionen utanför den $f(g)=g^4$

Du har då att derivatan av

• $h$ med avseende på $x$ är $\frac{dh}{dx}=2$
• $g$ med avseende på $h$ är $\frac{dg}{dh}=\cos(h)$
• $f$ med avseende på $g$ är $\frac{df}{dg}=4g^3$

Enligt kedjeregeln så får vi nu att derivatan av $f$ med avseende på $x$ är $\frac{df}{dx}=$

$=\frac{df}{dg}\cdot\frac{dg}{dh}\cdot\frac{dh}{dx}=$

$=4g^3\cdot\cos(h)\cdot2$

Med definitioner av $g$ och $h$ enligt ovanstående får vi $\frac{df}{dx}=4(\sin(h))^3\cdot\cos(2x+1)\cdot2=$

$=8\sin^3(2x+1)\cdot\cos(2x+1)$

Strålande förklarat!!